Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

258 Kapitel 12. Unendliche Reihen
Aufgabe 12.9.3. Entwickeln Sie die Funktion f(x) = cosh(x) in eine Potenzreihe mit Entwicklungspunkt
a = 0. Bestimmen Sie ferner den Konvergenzradius.
Aufgabe 12.9.4. Beweisen Sie die Beziehung
sinh(ix) = isin(x)
mit Hilfe einer Potenzreihe mit Entwicklungspunkt a = 0. Es ist i 2 = −1.
Aufgabe 12.9.5. Beweisen Sie die Beziehung
cosh(ix) = cos(x)
mit Hilfe einer Potenzreihe mit Entwicklungspunkt a = 0. Es ist i 2 = −1.
Aufgabe 12.9.6. Entwickeln Sie die ersten paar Glieder der Funktion f(x) = tanh(x) in
eine Potenzreihe mit Entwicklungspunkt a = 0.
Aufgabe 12.9.7. Entwickeln Sie die Funktion f(x) = 1 x
in eine Potenzreihe mit Entwicklungspunkt
a = 2. Bestimmen Sie ferner den Konvergenzradius und das Konvergenzverhalten
in den Randpunkten.
Aufgabe 12.9.8. Entwickeln Sie die Funktion f(u) = u √ u in eine Potenzreihe mit Entwicklungspunkt
a = 1. Bestimmen Sie ferner das Konvergenzintervall und das Konvergenzverhalten
in den Randpunkten.
Lösungen
Lösung 12.9.1. Taylorreihe ist cos(x) = ∑ ∞ (−1) n
n=0 (2n)! x2n , Konvergenzradius beträgt r = +∞.
Lösung 12.9.2. Taylorreihe ist sinh(x) = ∑ ∞
n=0 x2n+1
(2n+1)!, Konvergenzradius beträgt r = +∞.
Lösung 12.9.3. Taylorreihe ist cosh(x) = ∑ ∞
n=0 x2n
(2n)!, Konvergenzradius beträgt r = +∞.
Lösung 12.9.4. kein Kommentar
Lösung 12.9.5. kein Kommentar
Lösung 12.9.6. Taylorreihe ist tanh(x) = x− 2 3! x3 + 16
5! x5 −+···.
Lösung 12.9.7. Taylorreihe ist 1 x = ∑ ∞
Konvergenzintervall ist ]0,4[.
Lösung 12.9.8. Taylorreihe ist
n=0
(−1) n
2 n+1 (x − 2) n , Konvergenzradius beträgt r = 2.
u √ u = 1+ 3 2 (u−1)+ 3 2 2 (u−1) 2
2!
−3 1
2 3 (u−1) 3
3!
+···+(−1) n 3 1·3···(2n−5)
2 n (u−1) n
n!
+···
Konvergenzradius beträgt r = 1. Konvergenzintervall ist [0,2].