Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

138 Kapitel 6. Integralrechnung
bezeichnen. Nach Division durch ∆x wird daraus
m ≤ ∆F
∆x ≤ M.
Lassen wir ∆x gegen 0 streben, dann streben m und M beide gegen den Funktionswert f(x).
Somit gilt laut dem Sandwich-Theorem (vgl. Satz 3.3.2)
F ′ ∆F
(x) = lim
∆x→0 ∆x = f(x).
Wir haben gezeigt, dass im Intervall ]a,b[ die Ableitung der Flächenfunktion F nicht anders
als die ursprüngliche Funktion f ist.
Funktionen wie F, die die Eigenschaft F ′ = f besitzen, werden Stammfunktionen von f
genannt. Kennen wir eine Stammfunktion F von f, dann kennen wir alle Stammfunkionen
von f: Die anderen unterscheiden sich von F nur durch einen konstanten additiven Faktor.
Die allgemeine Form einer Stammfunktion von f wird unbestimmtes Integral genannt und
durch das Symbol
∫
f(x)dx
bezeichnet. Es gilt
(∫
f(x)dx) ′
= (F(x)+C) ′ = f(x),
d.h., eine Ableitung hebt eine Integration auf 1 .
Beispiel 6.1.1. Eine Stammfunktion von f(x) = x ist die Funktion F(x) = x2
2
. Damit gilt
∫
xdx = x2
2 +C,
wobei C eine beliebige reelle Zahl ist 2 (vgl. Abbildung 6.1.ii).
Im Beispiel 6.1.1 konnten wir aus unserer Erfahrung mit Ableitung eine Stammfunktion von
f einfach erraten. Andere Integrale, die sofort aus den Ableitungsregeln folgen, werden in der
folgenden Liste aufgeführt. Sie heissen Grundintegrale (vgl. auch die Tafel B.1)
∫
∫
0dx = C
e x dx = e x +C
∫
∫
1dx = x+C
cos(x)dx = sin(x)+C
∫
∫
x n dx = xn+1
n+1 +C für alle n ∈ Z, n ≠ −1 sin(x)dx = −cos(x)+C
∫ ∫
1 1
dx = ln|x|+C
x cos 2 dx = tan(x)+C
(x)
∫
∫
a x dx = ax
+C für alle a ∈ ]0,∞[, a ≠ 1
ln(a)
1
sin 2 dx = −cot(x)+C
(x)
Später werden wir Methoden lernen, die es erlauben, gewisse Integrale auf den Grundintegrale
zurückzuführen. Dies ist aber nicht immer möglich: Es gibt Funktionen, wie zum Beispiel
f(x) = e −x2 und f(x) = sin(x 2 ), die keine elementare Stammfunktionen besitzen.
1 Im deutschen Sprachraum heisst Integrieren oft auch “Aufleiten”.
2 Mit der Zeit wird es langwierig, den Satz wobei C eine beliebige reelle Zahl ist“ immer wiederholen zu
”
müssen. Stattdessen schreiben wir einfach ∫ xdx = x2 + C und betrachten die Bedeutung der so genannten
2
Integrationskonstante C als selbstverständlich.