Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

9.2. Areafunktionen (Flächenfunktionen) 183
Aufgabe 9.2.2. Bestimmen Sie die Logarithmusbeziehungen für
a. f(x) = arsinh(x)
b. f(x) = artanh(x)
c. f(x) = arcoth(x)
Aufgabe 9.2.3. Bestimmen Sie durch implizites Differenzieren die folgenden Ableitungen.
a.
d
dx arsinh(x)
b.
d
dx arcosh(x)
c.
d
dx artanh(x)
d.
d
dx arcoth(x)
Aufgabe 9.2.4. Bestimmen Sie die erste Ableitung von f(x) = arsinh(5x).
Aufgabe 9.2.5. Bestimmen Sie die erste Ableitung von f(x) = arsinh( √ x 2 −1).
Aufgabe 9.2.6. Bestimmen Sie die erste Ableitung von f(x) = artanh(
2x
1+x 2 ).
)
Aufgabe 9.2.7. Es sei f(z) = arcosh(
1
cos(z)
mit z ∈ ] − π 2 , π 2[
gegeben. Bestimmen Sie die
erste Ableitung von f. Machen Sie eine Skizze.
Aufgabe 9.2.8. Bestimmen Sie die erste Ableitung von f(x) = xartanh(x)+ 1 2 ln(1−x2 ).
Aufgabe 9.2.9. Bestimmen Sie die erste Ableitung von ψ(α) = αarsinh(α)− √ α 2 +1.
Aufgabe 9.2.10. Beweisen Sie, dass sich die Werte der Funktionen f und g um eine additive
Konstante unterscheiden. Bestimmen Sie die Konstante.
( x 2 )
(
−1
x 2 )
−1
f(x) = arsinh und g(x) = artanh
2x
x 2 wobei x > 0.
+1
Aufgabe 9.2.11. Berechnen Sie die bestimmten Integrale.
a.
b.
∫ 0.5
0
∫ 4
2
dγ
1−γ 2
c.
dω
1−ω 2
∫ 2
0.5
∫ 0
d. −
5
dx
1−x 2
dv
√
v 2 +1
Aufgabe 9.2.12. Bestimmen Sie die Masszahl des Flächeninhalts der Fläche, deren Begrenzungskurven
durch die folgenden Gleichungen gegeben ist.
y =
Machen Sie eine Skizze.
1
√ , y = 0, x = −a und x = a.
x 2 +1
Aufgabe 9.2.13. Bestimmen Sie die Masszahl des Flächeninhalts der Fläche, die von den
beiden Koordinatenachsen und der Kurve mit der folgenden Gleichung begrenzt wird.
⎧
1
⎪⎨
1−x
y =
2 wenn x ∈ [0,0.5]
⎪⎩
2x−x 2 wenn x ∈ [0.5,2]
Machen Sie eine Skizze.