Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

212 Kapitel 11. Integrationsmethoden
Aufgabe 11.2.4. Berechnen Sie das unbestimmte Integral
∫
xarctan(x)dx.
Aufgabe 11.2.5. Berechnen Sie die folgenden unbestimmten Integrale.
∫
∫ ln(γ)
a. arsinh(w)dw
c.
3√ dγ γ
∫
∫
b. x(ln(x)+1)dx
ln(ln(x))
d. dx
x
Aufgabe 11.2.6. Bewegt sich ein Körper auf einer Kurve, dann heisst das Segment vom
Ursprung zum Körper der Fahrstrahl.
a. Ein Planet bewegt sich auf einer elliptischen Bahn mit der Parametrisierung x(t) =
acos(t) und y(t) = bsin(t). Berechnen Sie den Flächeninhalt der während der Zeit τ
vom Fahrstrahl überstrichenen Fläche.
b. Ein Weltraumsonde bewegt sich auf einer Hyperbel mit der Parametrisierung x(t) =
acosh(t) und y(t) = bsinh(t). Berechnen Sie den Flächeninhalt der während der Zeit τ
vom Fahrstrahl überstrichenen Fläche.
Lösungen
Lösung 11.2.1. Im Folgenden bezeichnet C ∈ R eine Integrationskonstante.
a. −x 2 cos(x)+2(xsin(x)+cos(x))+C
b.
x 2
4 − x 2 sin(x)cos(x)+ sin2 (x)
4
+C
c. sin(β)−βcos(β)+C
d. sin(3−v)+vcos(3−v)+C
Lösung 11.2.2.
a. 1.8045
c. 2
b. 0.571
d. 0.1534
Lösung 11.2.3. Im Folgenden bezeichnet C ∈ R eine Integrationskonstante.
a. − cos(x)+sin(x)
2e x +C
b. − 1 4 e−4u (u 3 + 3 4 u2 + 3 8 u+ 3 32 )+C
c. a(x 2 +2a 2 )sinh( x a )−2a2 xcosh( x a )+C
d. varctan(v)− 1 2 ln(1+v2 )+C
Lösung 11.2.4. Verwenden Sie die Identität
x 2
1+x 2 = 1− 1
1+x 2 , dann ist
1
2 (x2 +1)arctan(x)− x 2 +C
eine Stammfunktion, wobei C ∈ R eine Integrationskonstante ist.