Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

384 Kapitel 21. Differenzialgleichungen
2. Diskriminante b 2 −4ac = 0, dann sind k 1 = k 2 reell:
Es sei
k 1 = k 2 = ρ = − b
2a
die einzige reelle Nullstellen der charakteristischen Gleichung. Also erhalten wir vorerst nur
eine Lösung
y(x) = Ce ρx .
Da es sich aber um eine homogene lineare Differenzialgleichung zweiter Ordnung handelt,
ist dies noch nicht die allgemeine Lösung. Wir sollten zwei Konstanten (Freiheitsgrade) haben.
Um die allgemeine Lösung zu erhalten, variieren wir nun die Konstante C, indem wir
annehmen, dass diese eine Funktion der Variable x sei. Wir setzen also
als Lösung an. Damit erhalten wir
y(x) = C(x)e ρx
y ′ (x) = C ′ (x)e ρx +ρC(x)e ρx
Einsetzen in die Differenzialgleichung ergibt
y ′′ (x) = C ′′ (x)e ρx +2ρC ′ (x)e ρx +ρ 2 C(x)e ρx .
a ( C ′′ (x)e ρx +2ρC ′ (x)e ρx +ρ 2 C(x)e ρx) +b ( C ′ (x)e ρx ρC(x)e ρx) +cC(x)e ρx = 0.
Nach Division mit e ρx ≠ 0 erhalten wir eine Differenzialgleichung für die Funktion C
a ( C ′′ (x)+2ρC ′ (x)+ρ 2 C(x) ) +b ( C ′ (x)+ρC(x) ) +cC(x) = 0.
Nun ordnen wir nach den Ableitungen von C und erhalten
aC ′′ (x)+(b+2aρ)C ′ (x)+(aρ 2 +bρ+c)C(x) = 0.
Da ρ eine Lösung der charakteristischen Gleichung ist, verschwindet der Vorfaktor von C(x).
Setzen wir ρ = − b
2a im Vorfaktor b+2aρ von C′ (x) ein, so sehen wir, dass sich auch dieser
annulliert
b−2aρ = b−2a b
2a = 0.
Somit bleibt die Differenzialgleichung C ′′ (x) = 0 mit der Lösung
C(x) = C 1 x+C 2
mit C 1 ,C 2 ∈ R
übrig. Die allgemeine Lösung für diesen dritten Fall lautet somit
Beispiel 21.13.2. Die Differenzialgleichung
y(x) = (C 1 x+C 2 )e ρx mit C 1 ,C 2 ∈ R.
y ′′ −8y ′ +16y = 0
hat die charakteristische Gleichung k 2 −8k+16 = 0 mit der Lösung k = ρ = 4. Also erhalten
wir die allgemeine Lösung
y(x) = (C 1 x+C 2 )e 4x .