Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

11.3. Integration rationaler Funktion - Partialbruchzerlegung 225
und der zweite muss mit einer quadratischen Ergänzung der Nennerpolynomfunktion und
anschliessender Substitution integriert werden. Wir erhalten die Summenzerlegung
Bx+C
x 2 +px+q = λ 2x+p
x 2 +px+q +µ 1
= B 2
x 2 +px+q
(
2x+p
x 2 +px+q + C − Bp )
2
1
x 2 +px+q ,
also ergibt sich mit Hilfe von Beispiel 11.1.10 die Stammfunktion
∫
Bx+C
x 2 +px+q dx = B ∫ (
2x+p
2 x 2 +px+q dx+ C − Bp )∫
dx
2 x 2 +px+q
( )
= B 2C −pB
2 ln(x2 +px+q)+ √ arctan 2x+p
√ + ˜C
4q −p 2 4q −p 2
wobei ˜C ∈ R eine Integrationskonstante ist.
Beispiel 11.3.8. Wir integrieren den Partialbruch dritter Art
−x+4
x 2 +x+1 = λ 2x+1
x 2 +x+1 +µ 1
x 2 +x+1 .
Indem wir ausmultiplizieren erhalten wir die Gleichung
−x+4 = λ(2x+1)+µ.
Durch einen Koeffizientenvergleich folgt λ = − 1 2 und µ = 9 2
. Es ergibt sich
∫
∫
−x+4
x 2 +x+1 dx = −1 2
2x+1
x 2 +x+1 dx+ 9 ∫
2
dx
x 2 +x+1 .
Im ersten Integral substituieren wir z = x 2 +x+1 und im zweiten ergänzen wir quadratisch
und erhalten
∫
−x+4
x 2 +x+1 dx = −1 2 ln(|x2 +x+1|)+ 9 ∫
dx
2 (x+ 1 2 )2 + 3 4
= − 1 2 ln(|x2 +x+1|)+ 9 ∫
4 dx
( )
23
2
+1.
Die Betragszeichen in der Logarithmusfunktion entfallen, da x 2 + x+1 > 0 für alle x ∈ R.
Nun substituiren wir u = 2x+1 √
3
, also du = √ 2 3
dx. Demzufolge erhalten wir
x+ 1 2 √
3
2
∫
√ ∫
−x+4
3
x 2 +x+1 dx = −1 du
2 ln(x2 +x+1)+6
2 u 2 +1
= − 1 2 ln(x2 +x+1)+3 √ ( 2x+1
3arctan √
)+C
3
wobei C ∈ R eine Integrationskonstante ist.