Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

4.15. Differenzierbarkeit einer Funktion 99
Abbildung 4.14.i: Die Nielsche Parabel x 3 = ay 2 mit a > 0 eine reelle Zahl.
Lösung 4.14.5.
a. f(x) = 3x 3 −2x+1 b. f(x) = 2x 3 −2x 2 −4
4.15 Differenzierbarkeit einer Funktion
Die Steigung der Tangente ist nicht bei jeder Funktion in jedem Punkt definiert.
Definition 4.15.1. Eine Funktion f : X → Y heisst an der Stelle x ihres Definitionsbereichs
X differenzierbar, wenn der Grenzwert des Differenzenquotienten
∆y
lim
∆x→0 ∆x = lim f(x+∆x)−f(x)
∆x→0 ∆x
existiert und gleich einer endlichen Zahl ist. Die Funktion f : X → Y heisst im Intervall
]a,b[ ⊂ X differenzierbar, wenn sie in jedem Punkt des Intervalls differenzierbar ist.
Fast alle Funktionen, denen wir in den Anwendungen der Technik begegnen, sind stückweise
unendlich oft differenzierbar.
• Polynomfunktionen sind auf ganz R unendlich oft differenzierbar.
• Rationale Funktionen sind auf ihrem jeweiligen Definitionsgebiet unendlich oft differenzierbar.
Zum Beispiel ist f(x) = 1 x
auf X = R−{0} stetig und unendlich oft differenzierbar.
• Exponential-, Logarithmus-, Trigonometrische-, Hyperbel-, Arkus- und Areafunktionen
sind auf ihren jeweiligen Definitionsgebieten unendlich oft differenzierbar.
• Aus obigen Funktionen durch Addition, Subtraktion, Multiplikation oder Division zusammengesetzte
Funktionen sind auf ihrem jeweiligen Definitionsgebiet unendlich oft
differenzierbar.
Satz 4.15.1. Ist eine Funktion an einer Stelle ihres Definitionsgebiets unstetig, so ist sie dort
nicht differenzierbar. Sie besitzt dann keine Tangente in diesem Punkt.
Die Umkehrung ist nicht richtig. Wenn eine Funktion stetig ist, braucht sie nicht differenzierbar
zu sein. Wie zum Beispiel bei einem Knick. Hier müssen wir rechtsseitige und linksseitige