Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

18.2. Lagrangemultiplikatoren 313
damit erhalten wir die Höhenlinie c = f(x,y). Eine ganz bestimmte Höhenlinie berührt die
Kurve auf der Fläche in ihrem obersten (resp. untersten) Punkt E. Wir betrachten den entsprechenden
Projektionspunkt E ′ . Durch E ′ geht die projizierte Kurve K ′ und die Projektion
der Höhenlinie
g(x,y) = 0 und c = f(x,y).
Die beiden Kurven haben in E ′ die gleiche Tangentensteigung. Durch implizites Ableiten
erhalten wir die Tangentensteigung der Kurve K ′ im Punkt E ′ vermöge
y ′ = − g x
g y
und die Tangentensteigung der projizierten Höhenlinie K im Punkt E ′
y ′ = − f x
f y
.
Demzufolge gilt im Punkt E ′ die Gleichung der Tangentensteigungen
g x
g y
= f x
f y
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Das heisst, Zähler und Nenner sind proportional mit dem gleichen Faktor λ ∈ R
f x −λg x = 0,
f y −λg y = 0.
Diese Ausdrücke sind partielle Ableitungen der so genannten Lagrangehilfsfunktion
F(x,y,λ) = f(x,y)−λg(x,y)
nach den Variablen x und y. Der Faktor λ heist Lagrangemultiplikator.
Eine hinreichende Bedingung wird nicht besprochen. Meistens kann durch eine allgemeine
Überlegung herausgefunden werden, welche Art von Extremum vorliegt.
Diese Methode funktioniert auch für Funktionen von mehreren (mehr als zwei) Variablen.
Gegeben seien eine Funktion f in den Variablen x 1 ,...,x n und die m Nebenbedingungen
g 1 (x 1 ,...,x n ) = 0,
g m (x 1 ,...,x n ) = 0.
Gesucht sind die Extremwerte der Funktion f in den n Variablen x 1 ,...,x n unter den Nebenbedingungen
g 1 (x 1 ,...,x n ) = 0,...,g m (x 1 ,...,x n ) = 0. Dazu definieren wir die Lagrangehilfsfunktion
F(x 1 ,...,x n ,λ 1 ,...,λ m ) = f(x 1 ,...,x n )−λ 1 g 1 (x 1 ,...,x n )−···−λ m g m (x 1 ,...,x n )
und bilden alle partiellen Ableitungen von F nach den Variablen x 1 ,...,x n und setzen sie
gleich null
F x1 (x 1 ,...,x n ,λ 1 ,...,λ m ) = 0,
F xn (x 1 ,...,x n ,λ 1 ,...,λ m ) = 0.
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