Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

22.2. Randwertprobleme, Eigenwerte und Eigenfunktionen 401
v
ohne Luftwiderstand
v End
v
mit Luftwiderstand ∼ v
v End
v
mit Luftwiderstand ∼ v 2
t
t
t
Abbildung 22.1.i: Das Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm des freien Falls ohne Luftwiderstand
(links), mit Luftwiderstand proportional zur Geschwindigkeit (mitte) und proportional zur
Geschwindigkeit im Quadrat (rechts).
Luftwiderstand nicht vernachlässigbar ist und das fallende Objekt turbulent umströmt wird,
so rechnen wir mit Luftwiderstand proportional zur Geschwindigkeit im Quadrat. Sind hingegen
moderate Geschwindigkeiten und eine laminare Umströmung des Objekts zu erwarten,
so rechnen wir mit Luftwiderstand proportional zur Geschwindigkeit. Für kleine Flugzeiten
kommt es nicht auf die Wahl des Modells an, da die drei Kurven zu Beginn fast alle identisch
sind.
22.2 Randwertprobleme, Eigenwerte und Eigenfunktionen
Als Beispiel eines klassischen Randwertproblems betrachten wir die Eulersche Knicklast.
Ein schlanker Stab werde in Richtung seiner Achse durch die Kraft F belastet. Die Enden
seien je nach Situation verschiedenartig gelagert oder eingemauert. Vorerst betrachten wir
die Situation, wo beide Enden beweglich gelagert sind (vgl. Abbildung 22.2.i). Der Stab kann
nach allen Seiten ausbrechen. Die Enden können sich aber nicht seitlich verschieben. Es stellt
sich die Frage: wie gross ist die Kraft F, bei der der Stab seitlich ausknickt?
F
•
y
l
•
x
Abbildung 22.2.i: Ein schlanker Stab, der in Richtung seiner Achse durch die Kraft F belastet
wird. Beide Enden sind beweglich gelagert, d.h. y(0) = y(l) = 0.