Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

Anhang A
Anwendungen
A.1 Elementare Arithmetik
A.1.1 Was ist falsch?
Nachfolgend seien a und b zwei reelle Zahlen. Wir machen die folgenden algebraischen Umformungen:
a = b
a 2 = ab
a 2 +(a 2 −2ab) = ab+(a 2 −2ab)
Voraussetzung
2(a 2 −ab) = a 2 −ab vereinfachen
beide Seiten mit a multiplizieren
auf beiden Seiten a 2 −2ab addieren
2 = 1 auf beiden Seiten a 2 −ab kürzen
Offensichtlich haben wir etwas Unerlaubtes getan - aber was?
Ein anderes Beispiel einer falschen algebraischen Umformungen ist das folgende:
−20 = −20
16−36 = 25−45
triviale Aussage
umschreiben
16−36+ 81 4 = 25−45+ 81 4
auf beiden Seiten 81 4
( ) addieren
4−
9 2 (
2 = 5−
9 2
2)
als Binom umschreiben
4− 9 2 = 5− 9 2
auf beiden Seiten die Wurzel ziehen
4 = 5 auf beiden Seiten 9 2 addieren
Offensichtlich haben wir wieder etwas Unerlaubtes getan - aber was?
Mathematische Argumente scheinen oft überzeugend, nur weil sie mit abstrakten Symbolen
dargestellt werden. Im Allgemeinen können sich in Argumenten, die in einer technischen
Sprache ausgedrückt werden, sehr wohl Fehlüberlegungen verstecken, die auf den ersten Blick
nicht erkannt werden.
Moral der Geschicht: Nicht einfach planlos mathematische Hieroglyphen herumschieben,
sondern gezielt und überlegt algebraische Umformungen tätigen.
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