Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

250 Kapitel 12. Unendliche Reihen
b. Untersuche die Potenzreihe
Mit dem Quotientenkriterium folgt
r = lim
∣
n→∞
P(x) =
a n
∞∑
n=1
a n+1
∣ ∣∣∣
= lim
n→∞
x n
n 2.
Nun untersuchen wir die beiden Randpunkte einzeln:
(n+1) 2
n 2 = 1.
• Am rechten Randpunkt x = 1 des Konvergenzintervalls haben wir die hyperharmonische
Reihe
∞∑ 1
P(1) =
n 2,
mit α = 2, die konvergent ist.
• AmlinkenRandpunktx = −1desKonvergenzintervalls habenwirdiealternierende
Reihe
∞∑ (−1) n
P(−1) =
n 2 ,
n=1
n=1
die nach dem Kriterium von Leibniz konvergent ist.
Somit konvergiert die Potenzreihe für alle x ∈ [−1,1].
c. Betrachte die Potenzreihe
P(x) =
Mit dem Quotientenkriterium folgt
∣ r = lim
a n ∣∣∣ (n+1) n+1
n→∞∣
= lim
a n+1 n→∞ n n
∞∑
n=1
Somit konvergiert die Potenzreihe für alle x ∈ R.
d. Betrachte die Potenzreihe
Mit dem Wurzelkriterium folgt
r =
P(x) =
x n
n n.
(
= lim 1+ 1 n
(n+1) = e·∞ = ∞.
n→∞ n)
∞∑
n=0
x n
2 n.
1
lim √ n n→∞ |a n | = 1
√ = 2.
n 1
lim n→∞ 2 n
Nun untersuchen wir die beiden Randpunkte einzeln:
• Am rechten Randpunkt x = 2 des Konvergenzintervalls haben wir die Reihe
die divergent ist.
P(2) =
∞∑ 2 n ∞ 2 n = ∑
1,
n=0
n=0