Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

374 Kapitel 21. Differenzialgleichungen
Beispiel 21.10.4. Die Differenzialgleichung
y ′ +y = 2xcos(x)
sei zu lösen. Die Lösung der homogenen Differenzialgleichung lautet y h (x) = ce −x , wobei
c ∈ R eine Konstante ist. Wir setzen eine partikuläre Lösung vom gleichen Typ wie die
Störfunktion s(x) = 2xcos(x) an
Diesen Ansatz differenziert
y p (x) = (Ax+B)sin(x)+(Cx+D)cos(x).
y p ′ (x) = Asin(x)+(Ax+B)cos(x)+Ccos(x)−(Cx+D)sin(x)
und in die Differenzialgleichung eingesetzt, ergibt
Asin(x)+(Ax+B)cos(x)+Ccos(x)−(Cx+D)sin(x) +
Wir machen einen Koeffizientenvergleich.
+(Ax+B)sin(x)+(Cx+D)cos(x) = 2xcos(x).
Der Koeffizientenvergleich von xsin(x) ergibt A −C = 0.
Der Koeffizientenvergleich von sin(x) ergibt A+B −D = 0.
Der Koeffizientenvergleich von xcos(x) ergibt A +C = 2.
Der Koeffizientenvergleich von cos(x) ergibt B +C +D = 0.
Das lineare Gleichungssystem hat die Lösung A = C = 1, B = −1 und D = 0. Damit ergibt
sich die allgemeine Lösung der Differenzialgleichung zu
wobei c ∈ R eine Konstante ist.
Aufgaben
y(x) = ce −x +(x−1)sin(x)+xcos(x),
Aufgabe 21.10.7. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung von y ′ +2y = xsin(x).
Aufgabe 21.10.8. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung von y ′ −y = (x+1)e −x .
Aufgabe 21.10.9. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung von y ′ −y = xe 2x .
Aufgabe 21.10.10. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung von ˙ϕ+ϕ = 2tsin(t).
Lösungen
Im Folgenden bezeichnet c ∈ R eine Konstante.
Lösung 21.10.7. y(x) = ce −2x + ( 2
5 x− 3 ) (
25 sin(x)+ −
1
Lösung 21.10.8. y(x) = ce x − ( 1
2 x+ 3 )
4 e
−x
Lösung 21.10.9. y(x) = ce x +(x−1)e 2x
Lösung 21.10.10. ϕ(t) = ce −t +tsin(t)+(1−t)cos(t)
5 x+ 4
25)
cos(x)
Wir kommen nun zum letzten Fall, bei dem die Störfunktion eine Linearkombination der Fälle
1 - 5 darstellt. Diesen Fall können wir in einem allgemeineren einbetten.