Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

5.5. Beispiele einer Kurvendiskussion 125
7. Krümmungsverhalten, Wende- und Sattelpunkte: Wir berechnen die Nullstellen
der zweiten Ableitung f ′′ (x) = 12x 2 − 16 = 0, um Kandidaten für Wendepunkte und
Sattelpunkte zu erhalten. Wir finden x 6 = − 2 √
3
und x 7 = 2 √
3
. Da x 6 und x 7 nicht Nullstellen
von f ′ sind, können sich an den Stellen x 6 und x 7 keine horizontalen Tangenten
befinden, also auch keine Sattelpunkte. Um zu entscheiden, ob es sich um Wendepunkte
handelt, berechnen wir die dritte Ableitung von f, also
f ′′′ (x) = 24x.
Nun können die Kandidaten für Wendepunkte getestet werden:
( ) ( )
• Esistf ′′′ (x 6 ) = f ′′′ −√ 2 3
= −√ 48
3 ≠ 0,alsohandeltessichbeiP −√ 2 3
,−17.9...
um einen Wendepunkt.
( )
• Es ist f ′′′ (x 7 ) = f ′′′ 2√3
= √ 48
3 ≠ 0, also handelt es sich bei P
einen Wendepunkt.
(
2√3
,−17.9...)
um
Nun sind wir in der Lage, ein genaues Bild der Situation zu machen und können die Abbildung
5.5.i erstellen. Wir kennen jetzt alle charakteristischen Merkmale der Kurve y = f(x).
Beispiel 5.5.2 (Extremwertrechnung). Gegeben sei ein Stück Blech mit der Länge a und
der Breite b, wobei b ≤ a angenommen wird. Wie weit müssen wir den Einschnitt x führen,
damit ein offener Behälter mit maximalem Volumen entsteht (vgl. Abbildung 5.5.ii)? Wie
gross ist dieses maximale Volumen? Unter der Voraussetzung b ≤ a können wir die Länge des
x
x
x
x
b
a
Abbildung 5.5.ii: Ein Stück Blech wird zu einem offenen Behälter mit maximalem Volumen
geformt.
Einschnittes x ∈ [ 0, b 2]
variieren. Das Volumen des Behälters berechnet sich gemäss
V(x) = (a−2x)(b−2x)x = abx−2x 2 (a+b)+4x 3 für alle x ∈ [ 0, b 2]
.
Wir sehen hier, dass die zu diskutierende Volumenfunktion nur auf dem Intervall [0, b 2 ] einen
Sinn macht, deshalb müssen wir auch die Randwerte diskutieren. Aus geometrischen Überlegungen
sehen wir, dass bei x 1 = 0 und x 2 = b 2
das Volumen verschwindet. Jetzt interessieren
wirunsfürdasMaximum. WirberechnendieersteAbleitungderVolumenfunktionundsetzen
sie gleich null
V ′ (x) = ab−4x(a+b)+12x 2 = 0.
Wir erhalten die Lösungen
x 3,4 = 4(a+b)±√ 16(a+b) 2 −4·12ab
24
= (a+b)±√ (a+b) 2 −3ab
6