Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

11.1. Integration durch Substitution 197
Lösungen
Im Folgenden bezeichnet C ∈ R eine Integrationskonstante.
Lösung 11.1.1.
2
15 (5x+3)√ 5x+3+C
Lösung 11.1.2. 1 2 ln(|2t+3|)+C
Lösung 11.1.3. − 32−z
ln(3) +C
Lösung 11.1.5. 1 3 arcosh(3x)+C
Lösung 11.1.6. 3 6√ (2u−7) 5 +C
Lösung 11.1.7. 3 4 tan(4α−2)+C
Lösung 11.1.4. 1 2 sin(2ϕ+0.5)+C
Lösung 11.1.8. 1 2 (u+sinh(u)cosh(u))+C
Lösung 11.1.9. − 1 2 (x−sinh(x)cosh(x))+C
Theorie zur Substitutionsmethode
Es sei F : [a,b] → R eine differenzierbare Funktion und F ′ (z) = f(z). Für z ∈ [a,b] gelte
somit
∫
F(z)+C = f(z)dz.
Ferner sei z = ϕ(x) Funktionswert einer differenzierbaren Funktion ϕ : [α,β] → R. Dann
ergibt die Kettenregel
d
dx F(ϕ(x)) = F′ (ϕ(x))·ϕ ′ (x).
Durch Integration erhalten wir daraus
∫
∫
f(z)dz = F(ϕ(x))+C =
∫
F ′ (ϕ(x))·ϕ ′ (x)dx =
f(ϕ(x))·ϕ ′ (x)dx,
wobei C ∈ R eine Integrationskonstante bezeichnet. Als bestimmtes Integral geschrieben,
ergibt sich
∫ b
a
f(z)dz =
∫ β
α
f(ϕ(x))·ϕ ′ (x)dx
mit ϕ(α) = a und ϕ(β) = b. Um eine Substitution durchführen zu können, müssen folgende
Bedingungen erfüllt sein:
1. f : [a,b] → R stetig
2. ϕ : [α,β] → R differenzierbar
3. ϕ ′ : [α,β] → R stetig
4. ϕ ′ (x) ≠ 0 für alle x ∈ [α,β]
Damit dasIntegral ∫ f(z)dz existiert, muss(1.) gelten. Damit dasIntegral ∫ f(ϕ(x))·ϕ ′ (x)dx
existiert, müssen (2.) und (3.) gelten. Der Punkt (4.) bedeutet, dass ϕ auf [α,β] streng monoton
ist, d.h., dass von z = ϕ(x) tatsächlich alle Werte zwischen ϕ(α) = a und ϕ(β) = b