Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

376 Kapitel 21. Differenzialgleichungen
Die Lösung der homogenen Differenzialgleichung ist y h (x) = ce 2x , wobei c ∈ R eine Konstante
ist. Da sich die Störfunktion aus zwei Funktionstypen zusammensetzt, machen wir zwei
Ansätze, die getrennt gerechnet werden. Die beiden Ansätze lauten
y 1 (x) = Asin(2x)+Bcos(2x) also y ′ 1(x) = 2Acos(2x)−2Bsin(2x),
y 2 (x) = Cx 3 +Dx 2 +Ex+F also y ′ 2(x) = 3Cx 2 +2Dx+E.
Nun setzen wir den Ansatz y 1 in die Differenzialgleichung ein und erhalten
2Acos(2x)−2Bsin(2x)−2Asin(2x)−2Bcos(2x) = 6cos(2x)−2sin(2x),
dann erfolgt ein Koeffizientenvergleich.
Der Koeffizientenvergleich von sin(2x) ergibt −2A−2B = −2.
Der Koeffizientenvergleich von cos(2x) ergibt 2A−2B = 6.
Die Lösung ist A = 2 und B = −1. Nun setzen wir den Ansatz y 2 in die Differenzialgleichung
ein und erhalten
3Cx 2 +2Dx+E −2Cx 3 −2Dx 2 −2Ex−2F = x−2x 3 ,
dann erfolgt ein Koeffizientenvergleich.
Der Koeffizientenvergleich von x 3 ergibt −2C = −2.
Der Koeffizientenvergleich von x 2 ergibt 3C−2D = 0.
Der Koeffizientenvergleich von x 1 ergibt 2D−2E = 1.
Der Koeffizientenvergleich von x 0 ergibt E−2F = 0.
Die Lösung beträgt C = 1,D = 3 2 ,E = 1 und F = 1 2
. Aus diesen Lösungen lässt sich jetzt die
allgemeine Lösung mit dem Superpositionsprinzip zusammensetzen
y(x) = y h (x)+y 1 (x)+y 2 (x) = ce 2x −cos(2x)+2sin(2x)+x 3 + 3 2 x2 +x+ 1 2 ,
wobei c ∈ R eine Konstante ist, die durch eine allfällige Nebenbedingungen bestimmt werden
könnte.
Aufgaben
Aufgabe 21.10.11. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung von
y ′ +y = (x+1)sin(3x)+3xcos(3x)+x 2 −2+2xe −x .
Aufgabe 21.10.12. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung von
y ′ +3y = cos(3x)−(6x+1)sin(3x)+e −3x .
Aufgabe 21.10.13. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung von
y ′ −2y = 3x 2 −2x 3 +(4x−2)cos(2x)−4xsin(2x).
Aufgabe 21.10.14. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung von
y ′ −y = 3x 2 cos(2x)+xsin(x)−x 2 e x +x−1.