Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

5.2. Gleichungen numerisch lösen 111
der genauen Stellen ungefähr verdoppelt wird. Dieses Iterationsverfahren konvergiert wesentlich
schneller als das Fixpunkt-Iterationsverfahren, dass wir zuerst diskutiert haben. Deshalb
untersuchen wir noch einmal Beispiel 5.2.1.
Beispiel 5.2.4. Gesucht ist die Lösung der Gleichung g(x) = x − 2e −x = 0. Wir schätzen
einen Startwert x 0 = 1.00 und beginnen die Iteration und erhalten die folgenden Werte. In
der zweiten Zeile berechnen wir jeweils das Konvergenzkriterium.
n 0 1 2 3 4
x n ∣
1.00 0.848 0.8526 0.8526055 0.852605502014
∣ g(xn)·g′′ (x n) ∣∣
(g ′ (x n)) < 1 0.07 0.002 0.0002 0.0000003 0.000000000004
2
|x n −x n−1 | − 0.152 0.0048 0.0000054 0.000000000007
Damit haben wir nach nur vier Iterationensschritten eine überaus genügende Genauigkeit der
gesuchten Lösung 0.852605502014 erreicht.
Aufgaben
Implementieren Sie das Tangentenverfahren von Newton in einem Programm in Matlab,
Mathcad oder einer anderen Software. Benutzen Sie zur Kontrolle Ihres Programmes das
Beispiel 5.2.4 und bestimmen Sie dann die Lösungen der folgenden Gleichungen.
Aufgabe 5.2.1. xln(x) = 1
Aufgabe 5.2.2. x 3 +7x−9 = 0
Aufgabe 5.2.3. 4cos(x) = 3x
Aufgabe 5.2.4. tan(x)+sin(x) = 2x
Aufgabe 5.2.5. x x = 10 7.2
Aufgabe 5.2.6. e x −5x+1.633 = 0
Aufgabe 5.2.7. x 4 +3x 2 −2x−12 = 0
Aufgabe 5.2.8. x 4 −12x 3 +45x 2 −54x+18 = 0
Aufgabe 5.2.9. 2x+sin(x) = 2
Aufgabe 5.2.10. x 3 4 +5x 1 4 = 9
Aufgabe 5.2.11. 4x 4 +3x 3 −12x 2 −23 = 0
Aufgabe 5.2.12. √ x−4.5+ 3√ x+2.35 = 3.9292
Aufgabe 5.2.13. x 4 −9x 3 +24.25x 2 −25.5x+9 = 0
Aufgabe 5.2.14. 3x+2e 2x = 18
Aufgabe 5.2.15. x+lg(x 2 ) = 22.7429
Aufgabe 5.2.16. Berechnen Sie mit dem Tangentenverfahren von Newton √ 3, indem Sie
die Lösung der Gleichung x 2 −3 = 0 suchen.
Aufgabe 5.2.17. Entwickeln Sie eine Iterationsvorschrift um die k-te Wurzel aus der positiven
Zahl a iterativ zu berechnen.