Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

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266 Kapitel 12. Unendliche Reihen Aufgabe 12.12.5. Entwickeln Sie die Funktion φ(x) = ∫ x 0 e −t2 dt in eine Potenzreihe mit Entwicklungspunkt a = 0. Bestimmen Sie ferner den Konvergenzradius. Aufgabe 12.12.6. Entwickeln Sie die Funktion f(x) = ∫ x 0 sin(t) dt t in eine Potenzreihe mit Entwicklungspunkt a = 0. Bestimmen Sie ferner den Konvergenzradius. Aufgabe 12.12.7. Entwickeln Sie die Funktion f(x) = ∫ x in eine Potenzreihe mit Entwicklungspunkt a = 0. 1 cos(t) dt t Aufgabe 12.12.8. Entwickeln Sie die ersten 3 Glieder der Funktion ∫ dx f(x) = 1−e x in eine Potenzreihe mit Entwicklungspunkt a = 0. Aufgabe 12.12.9. Entwickeln Sie die ersten 5 Glieder der Funktion φ(k) = ∫ π 2 0 dx √ 1−k 2 sin 2 (x) in eine Potenzreihe mit Entwicklungspunkt a = 0, wobei |k| < 1. Lösungen Lösung 12.12.1. Laurentreihe ist f(x) = − 1 x −x−x2 −x 3 −x 4 −···. Lösung 12.12.2. Laurentreihe ist f(x) = 1 x + 1 6 x+ 7 360 x3 +···. Lösung 12.12.3. Laurentreihe ist f(x) = − 2 x 2 − 1 6 − 1 5! x2 +···. Lösung 12.12.4. Laurentreihe ist f(x) = 1 x − 1 3 x− 1 45 x3 +···. Lösung 12.12.5. Taylorreihe ist Konvergenzradius beträgt r = +∞. φ(x) = ∑ ∞ (−1) n x 2n+1 n=0 n! 2n+1 ,
12.12. Erweiterte Ansatzmethode zur Reihenentwicklung 267 Lösung 12.12.6. Taylorreihe ist Konvergenzradius beträgt r = +∞. Lösung 12.12.7. Potenzreihe ist f(x) = x− x3 3·3! + x5 5·5! − x7 7·7! + x9 9·9! −+··· f(x) = ln(x)− x2 2·2! + x4 4·4! − x6 6·6! + x8 8·8! −···+ 1 2·2! − 1 4·4! + 1 6·6! − 1 8·8! +··· . Lösung 12.12.8. Potenzreihe ist f(x) = −ln(x) + 1 2 x − 1 24 x2 +··· +C, wobei C ∈ R eine Integrationskonstante ist. Lösung 12.12.9. Taylorreihe ist φ(k) = π ( 2 1+ 1 4 k2 + 9 64 k4 + 25 256 k6 + 1225 16384 +···). k8
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Analysis I - IV (an) Prof. Dr. Marc
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Liebe Studierende Sie lesen das Vor
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Inhaltsverzeichnis Liebe Studierend
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v 12 Unendliche Reihen 231 12.1 Gru
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vii A.4.2 Epizykloide - Wankelmotor
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Kapitel 1 Grundbegriffe der Mengenl
Seite 13 und 14:
1.4. Zahlenmengen und Punktmengen 3
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1.5. Ebene und räumliche Punktmeng
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Seite 19 und 20:
Seite 21 und 22:
Kapitel 2 Funktionen 2.1 Beispiele
Seite 23 und 24:
2.2. Der Funktionsbegriff 13 Eine F
Seite 25 und 26:
2.4. Potenzfunktionen 15 2.4 Potenz
Seite 27 und 28:
2.4. Potenzfunktionen 17 Lösung 2.
Seite 29 und 30:
2.4. Potenzfunktionen 19 y y y = 1
Seite 31 und 32:
2.5. Polynomfunktionen zweiten Grad
Seite 33 und 34:
2.6. Exponentialfunktionen 23 y y 1
Seite 35 und 36:
2.8. Monotonie 25 y y ax 3 −ax 3
Seite 37 und 38:
• • 2.10. Differenzenquotient 2
Seite 39 und 40:
2.10. Differenzenquotient 29 Der Au
Seite 41 und 42:
2.10. Differenzenquotient 31 Die Au
Seite 43 und 44:
Kapitel 3 Grenzwerte 3.1 Grenzwerte
Seite 45 und 46:
3.1. Grenzwerte von Zahlenfolgen 35
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3.1. Grenzwerte von Zahlenfolgen 37
Seite 49 und 50:
3.3. Grenzwerte von Funktionen 39 3
Seite 51 und 52:
3.3. Grenzwerte von Funktionen 41 s
Seite 53 und 54:
3.3. Grenzwerte von Funktionen 43 g
Seite 55 und 56:
3.4. Stetigkeit einer Funktion 45 3
Seite 57 und 58:
3.5. Singularitäten einer Funktion
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3.5. Singularitäten einer Funktion
Seite 61 und 62:
3.6. Verhalten von Funktionen im Un
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Kapitel 4 Differenzialrechnung 4.1
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4.1. Tangentenproblem, Ableitung 55
Seite 67 und 68:
4.2. Fakultäten, Binomialkoeffizie
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Seite 71 und 72:
Seite 73 und 74:
4.3. Ableitung der Potenzfunktion 6
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4.4. Grundregeln der Differenzialre
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4.5. Ableitung eines Produkts 67 L
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4.6. Ableitung eines Quotienten 69
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4.6. Ableitung eines Quotienten 71
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4.7. Ableitung der trigonometrische
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4.7. Ableitung der trigonometrische
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4.8. Logarithmen 77 Diefolgendensog
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4.8. Logarithmen 79 Aufgabe 4.8.5.
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4.10. Differenzial einer Funktion 8
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4.11. Ableitung von verknüpften Fu
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Seite 97 und 98:
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4.12. Ableitung impliziter Funktion
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4.12. Ableitung impliziter Funktion
Seite 103 und 104:
4.13. Differenzieren nach Logarithm
Seite 105 und 106:
4.13. Differenzieren nach Logarithm
Seite 107 und 108:
4.14. Höhere Ableitungen 97 In dif
Seite 109 und 110:
4.15. Differenzierbarkeit einer Fun
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4.15. Differenzierbarkeit einer Fun
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Kapitel 5 Anwendungen der Differenz
Seite 115 und 116:
5.1. Physik 105 Aufgabe 5.1.5. Ein
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5.2. Gleichungen numerisch lösen 1
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Seite 121 und 122:
Seite 123 und 124:
5.3. Uneigentliche Grenzwerte - Reg
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Seite 127 und 128:
Seite 129 und 130:
5.4. Untersuchung von Funktionen -
Seite 131 und 132:
5.4. Untersuchung von Funktionen -
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5.5. Beispiele einer Kurvendiskussi
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Seite 137 und 138:
Seite 139 und 140:
Seite 141 und 142:
5.6. Krümmung, Krümmungskreis, Ev
Seite 143 und 144:
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Seite 147 und 148:
Kapitel 6 Integralrechnung 6.1 Das
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6.1. Das unbestimmte Integral 139 y
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6.2. Das bestimmte Integral 141 Wen
Seite 153 und 154:
6.3. Integrationsregeln 143 Beweis.
Seite 155 und 156:
6.5. Allgemeine Flächenberechnunge
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Seite 159 und 160:
Seite 161 und 162:
Kapitel 7 Das Riemannsche Integral
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7.1. Das bestimmte Integral als Gre
Seite 165 und 166:
Seite 167 und 168:
Seite 169 und 170:
Kapitel 8 Umkehrfunktionen 8.1 Defi
Seite 171 und 172:
8.1. Definition der Umkehrfunktion
Seite 173 und 174:
8.1. Definition der Umkehrfunktion
Seite 175 und 176:
8.2. Arkusfunktionen (Zyklometrisch
Seite 177 und 178:
Seite 179 und 180:
Seite 181 und 182:
Seite 183 und 184:
Kapitel 9 Hyperbelfunktionen und ih
Seite 185 und 186:
9.1. Hyperbelfunktionen 175 y 1 y =
Seite 187 und 188:
9.1. Hyperbelfunktionen 177 4. ∫
Seite 189 und 190:
9.1. Hyperbelfunktionen 179 Dabei w
Seite 191 und 192:
9.2. Areafunktionen (Flächenfunkti
Seite 193 und 194:
9.2. Areafunktionen (Flächenfunkti
Seite 195 und 196:
Kapitel 10 Volumen, Oberflächen- u
Seite 197 und 198:
10.1. Volumen von Rotationskörpern
Seite 199 und 200:
10.1. Volumen von Rotationskörpern
Seite 201 und 202:
10.2. Bogenlänge einer Kurve 191 L
Seite 203 und 204:
10.3. Mantelfläche von Rotationsk
Seite 205 und 206:
Kapitel 11 Integrationsmethoden Die
Seite 207 und 208:
11.1. Integration durch Substitutio
Seite 209 und 210:
Seite 211 und 212:
Seite 213 und 214:
Seite 215 und 216:
Seite 217 und 218:
Seite 219 und 220:
11.2. Partielle Integration 209 b.
Seite 221 und 222:
11.2. Partielle Integration 211 Nun
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11.2. Partielle Integration 213 Lö
Seite 225 und 226: 11.2. Partielle Integration 215 Auf
Seite 227 und 228: 11.3. Integration rationaler Funkti
Seite 241 und 242: Kapitel 12 Unendliche Reihen Unendl
Seite 243 und 244: 12.1. Grundbegriffe und Definitione
Seite 245 und 246: 12.3. Konvergenzkriterien 235 b. Di
Seite 247 und 248: 12.3. Konvergenzkriterien 237 Alter
Seite 249 und 250: 12.3. Konvergenzkriterien 239 v 1
Seite 251 und 252: 12.3. Konvergenzkriterien 241 Beisp
Seite 253 und 254: 12.3. Konvergenzkriterien 243 Mit d
Seite 255 und 256: 12.4. Konvergenzverhalten der hyper
Seite 257 und 258: 12.5. Potenzreihen 247 Zu den folge
Seite 259 und 260: 12.5. Potenzreihen 249 1. Mit dem Q
Seite 261 und 262: 12.5. Potenzreihen 251 • Amlinken
Seite 263 und 264: 12.7. Taylorreihe einer Funktion 25
Seite 265 und 266: 12.8. Geometrische Bedeutung der Ta
Seite 267 und 268: 12.9. Allgemeine Form der Taylorrei
Seite 269 und 270: 12.10. Binomische Reihe 259 12.10 B
Seite 271 und 272: 12.11. Methoden zur Reihenentwicklu
Seite 273 und 274: 12.12. Erweiterte Ansatzmethode zur
Seite 275: 12.12. Erweiterte Ansatzmethode zur
Seite 279 und 280: Kapitel 13 Funktionen mehrerer unab
Seite 281 und 282: 13.2. Geometrische Darstellung 271
Seite 283 und 284: 13.3. Partielle Ableitungen 273 z z
Seite 285 und 286: 13.4. Der Satz von Schwarz 275 13.4
Seite 287 und 288: 13.4. Der Satz von Schwarz 277 Abbi
Seite 289 und 290: 13.5. Das vollständige Differenzia
Seite 293 und 294: 13.7. Museum of Mathematical Art 28
Seite 295 und 296: 13.7. Museum of Mathematical Art 28
Seite 297 und 298: Kapitel 14 Ableitung impliziter Fun
Seite 301 und 302: Kapitel 15 Gradient und Tangentiale
Seite 303 und 304: 15.2. Berechnung der Tangentialeben
Seite 305 und 306: Kapitel 16 Extremstellen bei mehrer
Seite 307 und 308: 16.1. Notwendige und hinreichende B
Seite 309 und 310: 16.2. Methode der kleinsten Quadrat
Seite 311 und 312: 16.2. Methode der kleinsten Quadrat
Seite 313 und 314: Kapitel 17 Approximation mit minima
Seite 315 und 316: 17.2. Approximation von diskreten F
Seite 321 und 322: Kapitel 18 Extremwerte mit Nebenbed
Seite 323 und 324: 18.2. Lagrangemultiplikatoren 313 d
Seite 325 und 326: 18.2. Lagrangemultiplikatoren 315 W
Seite 327 und 328:
18.2. Lagrangemultiplikatoren 317 L
Seite 329 und 330:
Kapitel 19 Mehrfache Integrale Zur
Seite 331 und 332:
19.2. Verallgemeinerung des Fläche
Seite 333 und 334:
19.2. Verallgemeinerung des Fläche
Seite 335 und 336:
19.3. Variablensubstitution in eine
Seite 337 und 338:
19.4. Berechnung von Trägheitsmome
Seite 339 und 340:
19.4. Berechnung von Trägheitsmome
Seite 341 und 342:
Kapitel 20 Arbeit und Linienintegra
Seite 343 und 344:
20.1. Kurven und Vektorfelder im Ra
Seite 345 und 346:
20.1. Kurven und Vektorfelder im Ra
Seite 347 und 348:
20.2. Das Linienintegral 337 y x Ab
Seite 349 und 350:
20.2. Das Linienintegral 339 Beispi
Seite 351 und 352:
20.2. Das Linienintegral 341 y P(1,
Seite 353 und 354:
20.3. Linienintegral im Potenzialfe
Seite 355 und 356:
Seite 357 und 358:
Seite 359 und 360:
Seite 361 und 362:
Kapitel 21 Differenzialgleichungen
Seite 363 und 364:
21.3. Problemstellungen mit Differe
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21.5. Differenzialgleichungen von K
Seite 367 und 368:
21.6. Integration von Differenzialg
Seite 369 und 370:
Seite 371 und 372:
Seite 373 und 374:
21.7. Orthogonaltrajektorien 363 b.
Seite 375 und 376:
21.8. Integration von linearen Diff
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21.9. Variation der Konstanten 367
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21.9. Variation der Konstanten 369
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21.10. Ansatzmethode und Superposit
Seite 383 und 384:
Seite 385 und 386:
Seite 387 und 388:
21.11. Differenzialgleichungen zwei
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21.11. Differenzialgleichungen zwei
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21.12. Allgemeine Betrachtungen zu
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21.13. Homogene lineare Differenzia
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Seite 397 und 398:
Seite 399 und 400:
21.15. Inhomogene lineare Differenz
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Seite 403 und 404:
Seite 405 und 406:
21.16. Zusammenstellung der Lösung
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Kapitel 22 Differenzialgleichungen
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22.1. Freier Fall mit und ohne Luft
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22.2. Randwertprobleme, Eigenwerte
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22.2. Randwertprobleme, Eigenwerte
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22.3. Die freie Schwingung 405 Wenn
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22.3. Die freie Schwingung 407 R R
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22.3. Die freie Schwingung 409 Aufg
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22.4. Die erzwungene Schwingung 411
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Seite 425 und 426:
Seite 427 und 428:
Kapitel 23 Systeme von Differenzial
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23.1. Systeme von linearen Differen
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Anhang A Anwendungen A.1 Elementare
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A.2. Folgen 423 Abbildung A.2.i: Ta
Seite 435 und 436:
A.2. Folgen 425 x Um lim n+1 −x x
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A.3. Fraktale 427 Abbildung A.3.ii:
Seite 439 und 440:
A.3. Fraktale 429 n = 1 Iterationen
Seite 441 und 442:
A.4. Rollkurven 431 A.3.4 Mengerwü
Seite 443 und 444:
A.5. Bauwerke mathematisch betracht
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A.5. Bauwerke mathematisch betracht
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A.6. Aus der Stochastik 437 berechn
Seite 449 und 450:
Anhang B Tafeln B.1 Tafel der Grund
Seite 451 und 452:
Literaturverzeichnis [1] M. Aigner
Seite 453 und 454:
Index N, 1 N 0 , 1 Z, 1 Q, 1 R, 1 C
Seite 455 und 456:
Index 445 Entropie, 349 Entwicklung
Seite 457 und 458:
Index 447 abgeschlossen, 4 beschrä
Seite 459 und 460:
Index 449 Nullstelle, 21 Formel, 21
Seite 461 und 462:
Index 451 Stokes George Gabriel, 18
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