Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

A.2. Folgen 425
x
Um lim n+1 −x x→1 x−1
zu bestimmen, benutzen wir einmal die Regel von de l’Hospital und erhalten
x n+1 −x (n+1)x n −1
S 0 (n) = lim = lim = n,
x→1 x−1 x→1 1
was wir natürlich schon lange wussten. Nun definieren wir den Differenzialoperator x d
dx und
wenden diesen auf die Funktion s n (x) an
x d
dx s n(x) = x d x n+1 −x
dx x−1
x+2x 2 +3x 3 +···+nx n = x nxn+1 −(n+1)x n +1
(x−1) 2
Wir berechnen x → 1 beider Seiten und erhalten nach zweimaliger Anwendung der Regel von
de l’Hospital
S 1 (n) = 1+2+3+···+n = n2
2 + n 2 = n(n+1) . (A.2.a)
2
Nun wenden wir den Differenzialoperator x d
dx zweimal auf die Funktion s n(x) an und erhalten
x d (
x d )
dx dx s n(x) = x d (
x d x n+1 )
−x
dx dx x−1
x+2 2 x 2 +3 2 x 3 +···+n 2 x n = x n2 x n+2 −(2n 2 +2n−1)x n+1 +(n 2 +2n+1)x n −x−1
(x−1) 3
Dann berechnen wir den Grenzübergang x → 1 durch dreimaliges Anwenden der Regel von
de l’Hospital und erhalten
S 2 (n) =
n∑
k 2 = n3
3 + n2
2 + n 6 = n(n+1)(2n+1) . (A.2.b)
6
k=1
Nun iterieren wir dieses Verfahren und erhalten der Reihe nach folgende Summenformeln
spezieller endlicher Reihen.
S 3 (n) =
S 4 (n) =
S 5 (n) =
S 6 (n) =
n∑
k=1
n∑
k=1
n∑
k=1
n∑
k=1
k 3 = n4
4 + n3
2 + n2
4 = n2 (n+1) 2
4
k 4 = n5
5 + n4
2 + n3
3 − n 30 = n(n+1)(2n+1)(3n2 +3n−1)
30
k 5 = n6
6 + n5
2 + 5n4
12 − n2
12
(A.2.c)
(A.2.d)
(A.2.e)
k 6 = n7
7 + n6
2 + n5
2 − n3
6 + n 42 . (A.2.f)
Anhand der obigen Herleitung sehen wir, dass S p (n) ein Polynom (p + 1)-Grades in n mit
Leitkoeffizient a p+1 = 1
p+1 ist. Einen allgemeinen Ausdruck für S p(n) ist in [13], Formel (71.8)
zu finden. Dieser enthält die Bernoullischen Zahlen.