Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

342 Kapitel 20. Arbeit und Linienintegrale
Lösungen
Lösung 20.2.1. W = − 1 3 −√ 3
Lösung 20.2.2. W = 1 3
Lösung 20.2.3. W = 1
Lösung 20.2.4. W = 13
6 − π 4
Lösung 20.2.5. W = 3 2 (π2 −7)
Lösung 20.2.6. Die Arbeit beträgt für alle Wege immer W = 1 2
. Für eine Erklärung vergleichen
Sie das nächste Kapitel 20.3 über Potenzialfelder.
Lösung 20.2.7. Die Arbeit für den oberen Halbkreis beträgt W = π und für den unteren
Halbkreis W = −π. Für eine Erklärung vergleichen Sie das nächste Kapitel 20.3 über
Potenzialfelder.
20.3 Linienintegral im Potenzialfeld
Die beiden letzten Beispiele 20.2.1 und 20.2.2 geben Anlass zur Frage: Wann ist ein Linienintegral
vom Weg unabhängig?
Wir betrachten zuerst nur ebene Felder. Seien ein Vektorfeld
y
P 2 (x 2 ,y 2 )
•
γ 1
γ 2
•
P 1 (x 1 ,y 1 )
x
Abbildung 20.3.i: Zwei verschiedene Wege γ 1 und γ 2 von P 1 (x 1 ,y 1 ) nach P 2 (x 2 ,y 2 ) zur
Berechnung eines Linienintegrals.
⃗F(x,y) =
(
F1 (x,y)
F 2 (x,y)
)
und eine Kurve ⃗r(t) =
von P 1 (x 1 ,y 1 ) nach P 2 (x 2 ,y 2 ) gegeben. Dann gilt
( ) ( ẋ(t)
d⃗r = dt =
ẏ(t)
˙⃗rdt ẋdt
=
ẏdt
also folgt
W =
∫ P2
∫ (x2 ,y 2 )
F ⃗ ·d⃗r =
P 1 (x 1 ,y 1 )
( ) (
F1 dx
·
F 2 dy
)
=
)
=
( dx
dy
∫ (x2 ,y 2 )
(x 1 ,y 1 )
( x(t)
y(t)
)
)
(F 1 dx+F 2 dy).