Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

132 Kapitel 5. Anwendungen der Differenzialrechnung
Beispiel 5.6.2. Wo liegt der Scheitelpunkt der Parabel y = x2
2
? Wir berechnen die Krümmung
der Parabel in Funktion der Abszisse
k(x) =
1
√
1+x 2 3.
Nun suchen wir Extremstellen der Krümmung, das heisst, wir suchen Nullstellen der ersten
Ableitung
k ′ 3x
(x) = −√ 1+x 2 5 = 0.
Der Scheitelpunkt liegt also bei P(0,0).
Ist die Kurve in Parameterdarstellung gegeben x = x(t) und y = y(t), so lässt sich die
Krümmung in Parameterdarstellungangeben.ImFolgenden bezeichnenwirAbleitungen
nachdemParametertmiteinemPunktundAbleitungennachderVariablexmiteinemStrich.
Wir berechnen mit der Kettenregel
y ′ = dy dy
dx = dt
dx
dt
= ẏ
ẋ
und
y ′′ = dy′
dx = dy′
dt · dt
dx = d dt
(ẏ )
ẋ
· dt (ÿ
dx = ẋ − ẏẍ )
ẋ 2 ·
In der bekannten Formel für die Krümmung (5.6.a) eingesetzt, erhalten wir
1
dx
dt
=
ẋÿ −ẍẏ
ẋ 2 1
ẋ .
k =
y ′′
√
1+(y ′ ) 2 3 =
die Krümmung in Parameterdarstellung.
√
ẋÿ −ẍẏ
1+
ẋ 3
(ẏ ) 3 2
ẋ
= ẋÿ −ẍẏ
√ẋ2
+ẏ 2 3,
(5.6.b)
Beispiel 5.6.3. Wie gross ist die Krümmung eines Kreises mit Radius r? Dazu parametrisieren
wir den Kreis mit Radius r und Zentrum im Ursprung
x(t) = rcos(t), ẋ(t) = −rsin(t), ẍ(t) = −rcos(t),
y(t) = rsin(t), ẏ(t) = rcos(t), ÿ(t) = −rsin(t),
und berechnen die Krümmung
k = r2 sin 2 (t)+r 2 cos 2 (t)
√
r 2 sin 2 (t)+r 2 cos 2 (t) 3 = r2
√
r
2 3 = 1 r > 0.
Je grösser der Radius des Kreises desto kleiner ist die Krümmung. Da der Kreis im positiven
Sinnparametrisiert ist,giltk = 1 r > 0,alsohabenwireineLinkskrümmung.DasselbeResultat
hätten wir auch mit der Halbkreiskurve y = √ r 2 −x 2 erhalten (vgl. Aufgabe 5.6.1).