Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

5.6. Krümmung, Krümmungskreis, Evolute, Evolvente 133
Krümmungskreis, Evolute und Evolvente
Wir können die Krümmungseigenschaft eines Kreises benutzen, um an eine Kurve in einem
Punkt P einen Krümmungskreis zu legen, der folgende Bedingungen erfüllt:
1. Die Kurve und der Kreis berühren sich im Punkt P mit gemeinsamer Tangente, d.h.
y ′ Kreis = y′ Kurve .
2. Die Kurve und der Kreis haben im Punkt P die gleiche Krümmung, d.h.
y ′′ Kreis = y ′′ Kurve mit k Kreis = k Kurve .
Wir sagen, der Kreis berühre die Kurve in zweiter Ordnung. Der Kreismittelpunkt M heisst
Krümmungsmittelpunkt, und der Radius
r = 1
|k|
des Kreises heisst Krümmungsradius 4 . Da zu jedem Punkt P einer Kurve ein KrümmungsmittelpunktM
gehört, ergebenalle KrümmungsmittelpunktezusammeneineKurve,dieEvolute.
Die Ausgangskurve heisst Evolvente.
y
M
•
P
•
r
Abbildung 5.6.iii: Krümmungskreis im Punkt P
x
Wir können die Koordinaten des Krümmungsmittelpunktes bestimmen. Die Kurve sei in
Parameterdarstellung x = x(t) und y = y(t) gegeben. Der Krümmungsmittelpunkt M zum
Punkt P liegt auf der Normalen an die Kurve im Punkt P im Abstand PM = 1 k
= r. Der
normalisierte Normalenvektor ⃗n = ( n x
)
n y im Punkt P(x,y) hat die Koordinaten
n x =
−ẏ
√ẋ2 +ẏ 2 und n y =
ẋ
√ẋ2 +ẏ 2.
4 Radien sind immer positive Zahlen, also muss der Absolutbetrag der Krümmung genommen werden.