Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

10.1. Volumen von Rotationskörpern 189
Lösung 10.1.8. V x = 256
3 π ≈ 268.083. Falls Sie das Resultat V x = 244
3
π erhalten haben,
dann haben Sie die Aufgabe etwas anders interpretiert. Ist auch richtig.
Lösung 10.1.9.
a. V x = 128
15 π ≈ 26.808 b. V y = 4π
Lösung 10.1.10.
a. V x = 4 3 πab2 . b. V y = 4 3 πa2 b.
Lösung 10.1.11.
( )∣
a. V x = π b2 x 3 ∣∣
x 2
a 2 3 −a2 x
x 1
( )∣
b. V y = π a2 y 3 ∣∣
y 2
b 2 3 +b2 y
y 1
Lösung 10.1.12. keine Hilfe
Lösung 10.1.13. y = 1 2 (1+arccos(x√ π))
Lösung 10.1.14. y = 4√ x
√ π
Verallgemeinerung
Ist der Flächeinhalt des Querschnitts q(x) eines Körpes als Funktion der Abszisse x bekannt,
so lässt sich nach der obigen Methode das Volumen des Körpers berechnen, auch wenn dieser
kein Rotationskörper ist. Durch entsprechende Überlegungen erhalten wir
y
∆V ≈ q(x)∆x
q(x)
a
∆x
x
b
x
Abbildung 10.1.ii: Approximativer Volumeninhalt ∆V ≈ q(x)∆x einer Scheibe der Höhe ∆x
und mit der Querschnittsfläche q(x) als Funktion der Abszisse x.
V =
∫ b
a
dV =
∫ b
a
q(x)dx.
Das Differenzial dV = q(x)dx wird Volumenelement genannt.