Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

21.3. Problemstellungen mit Differenzialgleichungen 353
definierte Richtungsfeld (vgl. Abbildung 21.2.ii).
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Abbildung 21.2.ii: Richtungsfeld y ′ (x,y) = x y der Differenzialgleichung xy′ = y mit einer
partikulären Lösungskurve y = 1 2 x.
Mit Hilfe der Isoklinenmethode können wir anhand Abbildung 21.2.ii die folgende Lösung
erraten:
y(x) = ax, wobei a ∈ R ein beliebiger Parameter ist.
Indem wir die erratene Lösung in die Differenzialgleichung einsetzen, sehen wir, dass es sich
in der Tat um die allgemeine Lösung handelt.
21.3 Problemstellungen mit Differenzialgleichungen
Im Zusammenhang mit Differenzialgleichungen stellen sich zwei Hauptprobleme.
1. Zu einer gegebenen Differenzialgleichung mit Anfangs- oder Randbedingungen ist die
allgemeine Lösung zu suchen.
2. ZueinergegebenenFunktion,respektiveFunktionenscharistdiezugehörigeDifferenzialgleichung
zu suchen.
21.4 Nachprüfen hypothetischer Lösungen - Kontrolle
Im Bereich des ersten Hauptproblems ist es oft möglich, eine Lösung zu erraten. Durch Einsetzen
dieser Lösung in die Differenzialgleichung lässt sie sich nachprüfen.
Beispiel 21.4.1. Wir betrachten die Differenzialgleichung
y ′′ +y = 0.
Wir vermuten, dass y 1 (x) = cos(x) undy 2 (x) = sin(x) Lösungen sein könnten. Deshalb setzen
wir diese Funktionen in die Differenzialgleichung ein:
y ′′
1 (x)+y 1(x) = −cos(x)+cos(x) = 0
y ′′
2(x)+y 2 (x) = −sin(x)+sin(x) = 0