Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

5.6. Krümmung, Krümmungskreis, Evolute, Evolvente 135
Aufgabe 5.6.3. Wo besitzt die Kurve des natürlichen Logarithmus ihren Scheitelpunkt? Wie
gross ist dort der Krümmungsradius?
Aufgabe 5.6.4. Beweisen Sie, dass die Kurve mit der Parametrisierung
x(t) = cos(t)+tsin(t) und y(t) = sin(t)−tcos(t)
keinen Scheitelpunkt besitzt und ihre Evolute ein Kreis ist.
Aufgabe 5.6.5. Wie gross ist der Krümmungsradius der Hyperbel mit der Gleichung
in den Scheitelpunkten?
x 2
a 2 − y2
b 2 = 1
Aufgabe 5.6.6. Bestimmen Sie rechnerisch und zeichnerisch die Evolute der Ellipse
x 2
a 2 + y2
b 2 = 1.
Wie gross sind die Krümmungsradien in den Scheitelpunkten?
Aufgabe 5.6.7. Bestimmen Sie die Evolute der in Polarkoordinaten gegebenen Kurve
r(ϕ) = 8cos(ϕ)−4sin(ϕ).
Aufgabe 5.6.8. Gegeben sei die Kurve xy = c 2 mit c ∈ R beliebig. Wir betrachten die
Normale an die Kurve im Punkt P, diese schneidet die Kurve ein zweites Mal in P ′ .
Beweisen Sie: Der Krümmungsradius der Kurve ist in jedem Punkt P halb so lang wie die
Sehne zwischen P und P ′ .
Lösungen
Lösung 5.6.1. Die Krümmung beträgt k = − 1 r
< 0. Für den parametrisierten Kreis mit
Radius r haben wir in Bsp. 5.6.3 die Krümmung k = 1 r
> 0 erhalten. Der Umlaufsinn der
parametrisierten Kurve (Linksskrümmung) und von y = √ r 2 −x 2 (Rechtskrümmung) sind
entgegengesetzt. Damit ändert sich das Vorzeichen der Krümmung.
Lösung 5.6.2. r(0) = p
Lösung 5.6.3. Scheitelpunkt bei P
(
1√2
,−ln( √ ( )
2))
, Krümmungsradius r 1√2
= 3√ 3
2 .
Lösung 5.6.4. Die Krümmung k(t) = 1 t
besitzt keine Extremstellen. Demzufolge hat die
Kurve (Evolvente) keine Scheitelpunkte. Es handelt sich um eine spiralförmige Kurve. Die
Evolute ist ein Kreis mit Radius 1 und Mittelpunkt im Ursprung .
Lösung 5.6.5. r = b2 a
Lösung 5.6.6. Parametrisierung der Evolute
ξ(t) = a2 −b 2
a
cos 3 (t) und η(t) = b2 −a 2
sin 3 (t).
b
Krümmungsradien in den Scheitelpunkten r a = b2 a und r b = a2
b .