Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

260 Kapitel 12. Unendliche Reihen
Beispiel 12.11.1. Wir entwickeln die Funktion
f(x) =
1
√
1−x
2
mit x ∈ ]−1,1[ in eine Reihe. Wir machen zuerst die Substitution u = −x 2 und dann entwickeln
wir
1
√ 1+u
= 1− u 2 + 1·3
2 2 ·2! u2 − 1·3·5
2 3 ·3! u3 +···
wie in Beispiel 12.10.1. Somit folgt durch Rücksubstitution sofort
1
√
1−x 2
= 1+
x2
2 + 1·3
2 2 ·2! x4 + 1·3·5
2 3 ·3! x6 +··· .
Der Konvergenzradius beträgt gemäss der allgemeinen Betrachtung r = 1.
Das nächste Beispiele benutzt den Hauptsatz über Potenzreihen 12.6.1.
Beispiel 12.11.2. Wir entwickeln die Funktion
f(x) = arcsin(x)
mit x ∈ ]−1,1[ in eine Reihe. Wir berechnen zuerst die Reihenentwicklung für die Ableitung
f ′ (x) = d
dx arcsin(x) = 1
√
1−x 2
wie in Beispiel 12.11.1. Somit folgt mit dem Hauptsatz über Potenzreihen 12.6.1
∫
dx
arcsin(x) = √
1−x 2
∫
=
(1+ x2
2 + 1·3
2 2 ·2! x4 + 1·3·5 )
2 3 ·3! x6 +··· dx
= x+ x3
2·3 + 1·3
2 2 ·2!·5 x5 + 1·3·5
2 3 ·3!·7 x7 +···+C,
wobei C ∈ R eine jetzt zu bestimmende Integrationskonstante ist. Da arcsin(0) = 0 folgt
unmittelbar, dass C = 0. Also haben wir die Potenzreihenentwicklung von
arcsin(x) = x+ x3
2·3 + 1·3
2 2 ·2!·5 x5 + 1·3·5
2 3 ·3!·7 x7 +··· .
Der Konvergenzradius beträgt r = 1 gemäss der allgemeinen Betrachtung unddem Hauptsatz
über Potenzreihen 12.6.1.
Beispiel 12.11.3. Wir entwickeln die Funktion
f(x) = x3 +2x
x 2 −2
in eine Taylorreihe mit Entwicklungspunkt 0. Dazu bedienen wir uns dem generellen Ansatz
x 3 +2x
x 2 −2 = a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +a 3 x 3 +··· .