Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

4.13. Differenzieren nach Logarithmieren 93
Diese Gleichung können wir implizit ableiten. Wir erhalten
1
y y′ = ln(a),
das heisst, y ′ = yln(a) = a x ln(a). Anders gesagt:
Insbesondere, wenn a = e, ist
(a x ) ′ = a x ln(a)
(e x ) ′ = e x
Die Exponentialfunktion mit der Basis e ist also gleich ihrer Ableitung. Abgesehen von einem
konstanten Faktor ist sie, wie wir später zeigen werden, die einzige Funktion mit dieser
Eigenschaft.
Beispiel 4.13.2. Um die Funktion f(x) = x x abzuleiten, setzen wir y = f(x) und logarithmieren
beide Seiten wie folgt:
ln(y) = xln(x).
Jetzt leiten wir implizit ab und erhalten
1
y y′ = 1·ln(x)+x 1 x = ln(x)+1,
woraus folgt, dass y ′ = y(ln(x)+1) = x x (ln(x)+1).
Beispiel 4.13.3. Wir betrachten die Funktion f(x) = x ln(sin(x)) . Wie vorher, setzen wir
y = f(x) und logarithmieren beide Seiten der Funktionsgleichung. Somit erhalten wir
ln(y) = ln(sin(x))ln(x).
Wir leiten mit Hilfe der Produkt- und Kettenregel ab:
( )
1 1
y y′ =
sin(x) ·cos(x) ln(x)+ln(sin(x)) 1 x
Somit gilt
(
y ′ = x ln(sin(x)) cot(x)ln(x)+ ln(sin(x)) )
.
x
ln(sin(x))
= cot(x)ln(x)+ .
x
Beispiel 4.13.4. Bevor wir zu den Übungen übergehen, führenwir ein letztes Beispiel durch.
Es handelt sich um die Potenzfunktion f(x) = x α , wobei α eine beliebige reelle Zahl ist. (Vgl.
Beispiel 4.6.1, wobei α ∈ Z, und Beispiel 4.11.5, wobei α ∈ Q.) Wir setzen y = f(x) und
logarithmieren beide Seiten der daraus entstehenden Gleichung wie folgt:
ln(y) = αln(x).
Wie Sie es schon längstens wissen, kommt jetzt eine implizite Ableitung. Wir erhalten
1
y y′ = α 1 x ,
das heisst,
y ′ = αy
x = αxα−1 .
Somit haben wir bewiesen, dass die Potenzfunktion für beliebige reelle Exponenten immer
nach der gleichen Regel differenziert wird:
(x α ) ′ = αx α−1 für alle α ∈ R