Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

4.11. Ableitung von verknüpften Funktionen – Die Kettenregel 83
Aufgaben
Aufgabe 4.10.1. Berechnen Sie das Differenzial dy der folgenden Funktionen.
a. f(x) = 4x 3 −2x 2 +1
b. f(x) = tan(x)
c. f(x) = x −2
d. f(x) = x−5
Lösungen
Lösung 4.10.1.
a. dy = (12x 2 −4x)dx
b. dy = (1+tan 2 (x))dx
c. dy = −2x −3 dx
d. dy = dx
4.11 Ableitungvon verknüpften Funktionen–Die Kettenregel
DieFunktionf(x) = sin(2x) desBeispieles 4.7.2 konntenwirnurableiten, indemwirsiezuerst
mit Hilfe des Additionstheorems für Sinus umschrieben. Diese Strategie war durchaus erfolgreich
aber gleichwohl relativ aufwändig. In diesem Kapitel führen wir eine Methode ein, die
uns erlaubt, solche zusammengesetzte Funktionen direkt abzuleiten. Als Beispiel betrachten
wir die Funktion
f(x) = cos(2x−1),
die wir zwar mit den bisherigen Regeln ableiten könnten, aber nur mit grosser Geduld 8 .
Um den Funktionswert y = f(x) an einer gewissen Stelle x auszurechnen, müssen wir zuerst
den Wert u = 2x−1 ermitteln und danach den Wert y = cos(u). Setzen wir h(x) = 2x −1
und g(u) = cos(u), so können wir die Funktion f wie folgt neu schreiben 9 :
f(x) = g(h(x)) = (g ◦h)(x).
An diesem Punkt gehen wir zum allgemeinen Fall über, das heisst, wir betrachten gleichzeitig
alle Funktionen der Form f(x) = (g ◦h)(x), wobei g und h differenzierbare Funktionen sind.
Für jeden Punkt x des Definitionsbereiches X f schreiben wir u = h(x) und y = g(u) =
g(h(x)) = f(x). Die Situation wird in Abbildung 4.11.i dargestellt.
Es gibt jetzt drei Variablen im Spiel: x, u und y. Dementsprechend können wir drei verschiedene
Differenzenquotienten bilden:
∆y
∆u = g(u+∆u)−g(u) ,
∆u
∆u
∆x = h(x+∆x)−h(x)
∆x
und
∆y
∆x = f(x+∆x)−f(x) .
∆x
Esistderletzte, derunsfürdieAbleitungvonf interessiert. UmseinenGrenzwertfür∆x → 0
zu berechnen, schreiben wir ihn als Produkt der zwei ersten Differenzenquotienten:
f ′ ∆y
(x) = lim
∆x→0 ∆x = lim ∆y
∆x→0 ∆u · ∆u
∆x = lim g(u+∆u)−g(u)
· h(x+∆x)−h(x)
∆x→0 ∆u ∆x
8 Versuchen Sie es doch!
9 Dabei bedeutet das Symbol g ◦h die Verknüpfung der Funktion h mit g (zuerst h dann g).