Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

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Inhaltsverzeichnis
20 Arbeit und Linienintegrale 331
20.1 Kurven und Vektorfelder im Raum und in der Ebene . . . . . . . . . . . . . 331
20.2 Das Linienintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
20.3 Linienintegral im Potenzialfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
21 Differenzialgleichungen 351
21.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
21.2 Die geometrische Bedeutung einer Differenzialgleichung erster Ordnung . . . 352
21.3 Problemstellungen mit Differenzialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
21.4 Nachprüfen hypothetischer Lösungen - Kontrolle . . . . . . . . . . . . . . . 353
21.5 Differenzialgleichungen von Kurvenscharen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
21.6 Integration von Differenzialgleichungen durch Separation . . . . . . . . . . . 357
21.7 Orthogonaltrajektorien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
21.8 Integration von linearen Differenzialgleichungen erster Ordnung . . . . . . . 365
21.9 Variation der Konstanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
21.10 Ansatzmethode und Superpositionsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
21.11 Differenzialgleichungen zweiter Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
21.12 Allgemeine Betrachtungen zu linearen Differenzialgleichungen . . . . . . . . 380
21.13 Homogene lineare Differenzialgleichungen zweiter Ordnung . . . . . . . . . . 383
21.14 Homogene lineare Differenzialgleichung n-ter Ordnung . . . . . . . . . . . . 387
21.15 Inhomogene lineare Differenzialgleichung n-ter Ordnung . . . . . . . . . . . 389
21.16 Zusammenstellung der Lösungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
22 Differenzialgleichungen in der Mechanik 397
22.1 Freier Fall mit und ohne Luftwiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
22.2 Randwertprobleme, Eigenwerte und Eigenfunktionen . . . . . . . . . . . . . 401
22.3 Die freie Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404
22.4 Die erzwungene Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410
23 Systeme von Differenzialgleichungen 417
23.1 Systeme von linearen Differenzialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417
A Anwendungen 421
A.1 Elementare Arithmetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
A.1.1 Was ist falsch? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
A.2 Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422
A.2.1 Fibonaccifolge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422
A.2.2 Folge von Collatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422
A.2.3 Summenformeln spezieller endlicher Reihen . . . . . . . . . . . . . . 424
A.3 Fraktale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426
A.3.1 Polygone im Kreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426
A.3.2 Kochsche Kurve - Schneeflocke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427
A.3.3 Sierpinski-Dreieck und -Teppich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429
A.3.4 Mengerwürfel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
A.3.5 Mandelbrot und Juliamengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
A.4 Rollkurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
A.4.1 Katakaustik - Kaffeetasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431