Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

174 Kapitel 9. Hyperbelfunktionen und ihre Umkehrfunktionen
y
y = sinh(x)
y = 1 2 ex
y = 1 2 e−x
x
Abbildung 9.1.i: Der Sinus hyperbolikus ist eine Linearkombinationen zweier Exponentialfunktionen.
y
y = cosh(x)
y = 1 2 ex
y = 1 2 e−x
x
Abbildung 9.1.ii: Der Kosinus hyperbolikus ist eine Linearkombinationen zweier Exponentialfunktionen.
3. Tangens hyperbolikus: Der Tangens hyperbolikus, auch Hyperbeltangens genannt,
ist durch
f(x) = tanh(x) = sinh(x)
cosh(x) = ex −e −x
e x +e −x,
definiert 3 . Es gilt X tanh = R und Y tanh =] − 1,1[. Der Tangens hyperbolikus ist eine
ungerade Funktion, da für alle x ∈ R
tanh(−x) = e−x −e x
e −x +e x = −tanh(x)
gilt. Weiter ergibt sich das Verhalten im Unendlichen
e x −e −x
lim tanh(x) = lim
x→∞ x→∞ e x +e −x = lim
x→∞
lim tanh(x) = lim
x→−∞ x→−∞
e x −e −x
e x = lim
+e−x x→−∞
1−e −2x
= 1,
1+e−2x e 2x −1
e 2x +1 = −1.
4. Kotangens hyperbolikus: Der Kotangens hyperbolikus, auch Hyperbelkotangens genannt,
ist durch
f(x) = coth(x) = cosh(x)
sinh(x) = ex +e −x
e x −e −x,
3 Es wird auch die Akürzung th verwendet.