Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

216 Kapitel 11. Integrationsmethoden
Lösungen
Lösung 11.2.7. Die allgemeine Rekursionsformel lautet
und
I n (x) = 1 n sin(x)cosn−1 (x)+ n−1
n I n−2(x) wobei n ≥ 2
∫
I 0 (x) =
∫
dx und I 1 (x) =
cos(x)dx.
Angewandt auf n = 8 ergibt sich
( 1
I 8 (x) = sin(x)
8 cos7 (x)+ 7
48 cos5 (x)+ 35
192 cos3 (x)+ 35 )
128 cos(x) + 35
128 x+C.
Lösung 11.2.8. Die Zerlegung
1
cos n (ϕ) = cos(ϕ)
cos n+1 (ϕ)
hilft weiter. Die allgemeine Rekursionsformel lautet dann
und
I n (ϕ) = 1 sin(ϕ)
n−1cos n−1 (ϕ) + n−2
n−1 I n−2(ϕ) wobei n ≥ 2
∫
I 0 (ϕ) =
∫
dϕ und I 1 (ϕ) =
Lösung 11.2.9. Die allgemeine Rekursionsformel lautet
und
dϕ
cos(ϕ) .
I n (x) = 1 n cosh(x)sinhn−1 (x)− n−1
n I n−2(x) wobei n ≥ 2
∫
I 0 (x) =
∫
dx und I 1 (x) =
sinh(x)dx.
Lösung 11.2.10. Die allgemeine Rekursionsformel lautet
∫
I n (x) = xln n (x)−nI n−1 (x) wobei n ≥ 1 und I 0 (x) =
dx.
Lösung 11.2.11. F(q) = qn+1 qn+1
n+1
ln(q)− +C, wobei C ∈ R beliebig.
(n+1) 2
Lösung 11.2.12. Die allgemeine Rekursionsformel lautet
Angewandt auf m = 3 und n = 2 ergibt sich
I m,n (x) = xm+1
m+1 lnn (x)− n
m+1 I m,n−1(x)
I 3,2 (x) = x4
4
wobei C ∈ R eine Integrationskonstanten ist.
(
ln 2 (x)− 1 2 ln(x)+ 1 )
+C,
8