Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

320 Kapitel 19. Mehrfache Integrale
welche für kleiner werdende ∆x i immer besser wird. Dabei stellt ∆F i = f(ξ i )∆x i die Masszahl
eines solchen Rechtecks dar. Wir können nun aber die Rechtecke selbst wieder aus
y
f(ξ i )
∆F i
y = f(x)
y j
∆y j
∆x i
a
x i−1 ξ i
x i
b
x
Abbildung 19.1.i: Das quadratische Flächenstück hat den Flächeninhalt ∆y j ∆x i . Damit ergibt
sich das Flächendifferenzial dydx bei einem Doppelintegral.
Flächenstücken, kleinen Rechtecken aufbauen. Es sei
0 = y 0 < y 1 < y 2 < ··· < y j−1 < y j < ··· < y mi = f(ξ i )
eine Unterteilung des Intervalls [0,f(ξ i )] in m i Teilintervalle der Länge ∆y j = y j −y j−1 . Dann
gilt
∑m i
∆F i = f(ξ i )∆x i = ∆y j ∆x i .
Die Summation erfolgt dabei in Richtung der y-Achse bis y mi = f(ξ i ). Die Gesamtsumme der
Rechteckflächen zwischen a und b ergibt sich zu
⎛ ⎞
n∑ ∑m i n∑ ∑m i
⎝ ∆y j
⎠∆x i = ∆y j ∆x i .
i=1
j=1
j=1
i=1 j=1
Ein doppelter Grenzübergang, ∆x i → 0 und ∆y j → 0, d.h. n → ∞ und m i → ∞ für alle
i ∈ {1,...,n}, ergibt ein so genanntes Doppelintegral
F = lim
n→∞
n∑
lim
m i
m i →∞
i=1 j=1
∑
∆y j ∆x i =
∫ b
x=a
∫ f(x)
y=0
dydx.
Dies ist eine vollständige Analogie zur Berechnung der Länge eines Intervalls mit ∫ dx. Wir
nennen dydx das Flächendifferenzial.
Beispiel 19.1.1. Wir berechnen die Fläche unter der Kurve y = f(x) = mx zwischen a und
b. Zuerst bestimmen wir das so genannte Fadendifferenzial
( ∫ )
f(x)
(∫ mx
)
dF = dy dx = dy dx.
y=0
y=0