Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

198 Kapitel 11. Integrationsmethoden
angenommen werden. Damit ist ϕ auch eindeutig umkehrbar, und die Grenzen α und β
können unmittelbar durch
ϕ −1 (a) = α und ϕ −1 (b) = β
ausgedrückt werden.
Die obige Beziehung zwischen den Integralen wird auf zwei Arten verwendet.
Von links nach rechts: Ein beliebiges Integral
∫
f(z)dz
kann durch die Substitution z = ϕ(x) in ein Integral
∫
f(ϕ(x))·ϕ ′ (x)dx
umgewandelt werden. Ist dies ein Grundintegral, so ist die Aufgabe gelöst.
Von rechts nach links: Das Integral eines Produktslässt sichimmerdannberechnen,wenn
der eine Faktor eine mittelbare Funktion f(ϕ(x)) und der andere Faktor die innere
Ableitung ϕ ′ (x) des inneren Terms ist, sofern für die Funktion f unter Beachtung der
Substitution z = ϕ(x) ein Integral
∫
f(z)dz
angegeben werden kann.
Wichtige Sonderfälle von Integralen der Form
∫
f(ϕ(x))·ϕ ′ (x)dx
1. Es ist ϕ(x) = ax + b eine affine Funktion mit a und b ∈ R. Hier machen wir die
Substitution z = ax+b, also dz = adx. Damit folgt
∫
f(ax+b)dx = 1 ∫
f(z)dz
a
Nach diesem Prinzip sind die Beispiele 11.1.1 und 11.1.2 und die Aufgaben 11.1.1-9
gelöst worden.
2. Es ist f(z) = z n eine Potenzfunktion mit dem Exponenten n ∈ Z−{−1}. Der Integrand
hat die Form (ϕ(x)) n · ϕ ′ (x), für negative n muss ϕ(x) ≠ 0 sein. Wir substituieren
z = ϕ(x) und erhalten dz = ϕ ′ (x)dx, demzufolge folgt
∫
∫
(ϕ(x)) n ·ϕ ′ (x)dx =
wobei C ∈ R eine Integrationskonstante ist.
z n dz = zn+1 (ϕ(x))n+1
+C = +C,
n+1 n+1