Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

414 Kapitel 22. Differenzialgleichungen in der Mechanik
Es folgt dieuninteressante Stelle ω 1 = 0, die keiner erzwungenen Schwingungentspricht,
und ω 1 = √ ω0 2 −2ρ2 . Die zweite Lösung nennen wir Resonanzfrequenz und setzen
√ √
ω r = ω0 2 −2ρ2 = ω 0 1−2D 2 < ω 0 ,
wobei D = ρ
ω 0
. Für 1 − 2D 2 ≤ 0, also für D ≥ 1 √
2
gibt es keine Resonanzfrequenz.
ResonanzgibtesalsonurfürSchwingungen.EsbleibtdieFrage, obbeiω r dieAmplitude
K
K max
ω r ω 0
ω 1
Abbildung 22.4.iv: Maximale Amplitude K max = K(ω r ) bei der Resonanzfrequenz ω r < ω 0
bei einem Dämpfungsgrad von D = 0.2.
maximal oder minimal ist. Dazu differenzieren wir den Nenner N ein zweites Mal nach
ω 1 und erhalten
N ′′ (ω 1 ) = 2(ω 2 0 −ω 2 1)(−2)+2(−2ω 1 )(−2ω 1 )+8ρ 2 = −4ω 2 0 +2ω 2 1 +8ρ 2 .
Also folgt an der Stelle ω 1 = ω r , dass
N ′′ (ω r ) = −4ω 2 0 +2(ω 2 0 −2ρ 2 )+8ρ 2 = 8(ω 2 0 −2ρ 2 ) = 8ω 2 r > 0.
Demzufolge handelt es bei N(ω r ) um ein Minimum. Also erhalten wir an der Stelle
ω 1 = ω r die maximale Amplitude
p 0
K max = K(ω r ) = √
(ω
2
0 −ω0 2 +2ρ2 ) 2 +4ρ 2 (ω0 2 −2ρ2 ) = p 0
2ρ √ ω0 2 −ρ2.
Diskussion der Phasenverschiebung im stationären Zustand für Schwingungen
Es stellt sich die Frage, wie sich die Phasenverschiebung
( ω
2
ψ(ω 1 ) = arctan 0 −ω1
2 )
2ω 1 ρ
bei festen Parametern p 0 ,ω 0 und veränderlicher Dämpfung ρ verhält.
Nun diskutieren wir die Phasenverschiebung für 0 ≤ D < 1:
1. Ungedämpfte erzwungene Schwingung, D = 0: In diesem Fall müssen wir den
Grenzwert für ρ → 0 berechnen. Dabei haben wir zwei Fälle zu unterscheiden:
• Ist ω 1 < ω 0 , dann ist das Argument ω2 0 −ω2 1
2ω 1 ρ
für alle 0 ≤ ω 1 < ω 0 .
lim ψ ρ(ω 1 ) = lim arctan
ρ→0 ρ→0
> 0. Also folgt
( ω
2
0 −ω1
2 )
= π 2ω 1 ρ 2