Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

372 Kapitel 21. Differenzialgleichungen
Somit lautet die allgemeine Lösung der Differenzialgleichung
y(x) = y h (x)+y p (x) = ce −2x + 1 2 x2 − 1 2 x+ 1 4 ,
wobei c ∈ R eine Konstante ist, die noch durch eine allfällige Anfangsbedingung bestimmt
werden könnte.
Beispiel 21.10.2. Wir betrachten die lineare inhomogene Differenzialgleichung erster Ordnung
mit konstanten Koeffizienten
y ′ +y = 5sin(3x).
Die Lösung der homogenen Differenzialgleichung lautet y h (x) = ce −x , wobei c ∈ R eine
Konstante ist. Da es sich bei der Störfunktion s(x) = 5sin(3x) um eine trigonometrische
Funktion mit Frequenz ω = 3 handelt, machen wir den Ansatz
y p (x) = Asin(3x)+Bcos(3x).
Obwohl die Störfunktion nur aus einer Sinusfunktion besteht, müssen wir den Ansatz mit
einer Sinus- und einer Kosinusfunktion machen. Wir differenzieren den Ansatz
und setzen ihn in die Differenzialgleichung ein
y p ′ (x) = 3Acos(3x)−3Bsin(3x)
3Acos(3x)−3Bsin(3x)+Asin(3x)+Bcos(3x) = 5sin(3x).
Wieder muss diese Gleichung für alle x erfüllt sein. Somit muss links und rechts die gleiche
Funktion stehen, das heisst die Koeffizienten von sin und cos müssen je übereinstimmen.
Der Koeffizientenvergleich von sin(3x) ergibt A−3B = 5.
Der Koeffizientenvergleich von cos(3x) ergibt 3A+ B = 0.
Die Lösung ist A = 1 2 und B = −3 2
. Somit lautet die allgemeine Lösung der Differenzialgleichung
wobei c ∈ R eine Konstante ist.
y(x) = ce −x + 1 2 sin(3x)− 3 2 cos(3x),
Aufgaben
Aufgabe 21.10.1. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung von y ′ −2y = 2e 3x .
Aufgabe 21.10.2. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung von y ′ −4y = 2e 4x .
Aufgabe 21.10.3. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung von y ′ +y = x 3 +x 2 +x+1.
Aufgabe 21.10.4. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung von y ′ −2y = 3.
Aufgabe 21.10.5. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung von ṡ+3s = sin(t)−cos(t).
Aufgabe 21.10.6. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung von ˙ I +2I = −2cos(2t).