Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

108 Kapitel 5. Anwendungen der Differenzialrechnung
y
y = x
y
y = f(x)
f(x 1 )
f(x 0 )
y = f(x)
f(x 0 )
f(x 1 )
f(x 2 )
y = x
f(x 3 )
x 0 x 1 x 2
x
x 4
x 2 x 0
x
0 < f ′ (x) < 1
1 < f ′ (x)
y
y = f(x)
y = x
y
f(x 2 )
y = f(x)
y = x
f(x 2 )
f(x 0 )
f(x 3 )
f(x 1 )
f(x 1 )
x 0 x 2 x 4 x 3 x 1
−1 < f ′ (x) < 0
x
x 2 x 0 x 1 x 3
f ′ (x) < −1
x
Abbildung5.2.ii: Streckenzüge derviertypischenFällebeideriterativen LösungderGleichung
x = f(x).
Beispiel x = f(x) = 2e −x . Nun betrachten wir die notwendige Konvergenzbedingung
|f ′ (x)| = |−2e −x | < 1.
Diese ist sicher erfüllt für x > ln(2) ≈ 0.6931. Also wählen wir einen Startwert x 0 = 1.000
und beginnen die Iteration und erhalten die folgenden Werte. In der zweiten Zeile berechnen
wir jeweils das Konvergenzkriterium.
n 0 1 2 3 10 50 100
x n 1.000 0.736 0.9582 0.7671 0.8814 0.85265 0.852605519
|f(x n )| < 1 0.736 0.958 0.767 0.929 0.828 0.853 0.853
|x n −x n−1 | − 0.264 0.2225 0.1912 0.0621 0.00011 0.000000036
Damit haben wir eine Lösung 0.8526055 der Gleichung x − 2e −x = 0 gefunden, die auf 7
Nachkommastellen genau ist.
Beispiel 5.2.2. Wir betrachten noch einmal das Problem, eine Lösung der Gleichung
cos(x) = x 2 −0.5
zu finden. Aus Symmetriegründen vermuten wir Lösungen bei x ≈ ±1. Zuerst lösen wir die