Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

Kapitel 12
Unendliche Reihen
Unendliche Reihen und speziell Potenzreihen erweisen sich in der angewandten Mathematik
als unentbehrliches Hilfsmittel zur expliziten Berechnung von Funktionswerten, zur IntegrationvonFunktionenoderzurHerleitungvonNäherungsformeln.OderhabenSiesichauchschon
gefragt, wie die Zahl π = 3.1415926535897932384626433832795... auf Millionen von Stellen
berechnet werden kann? Oder, was passiert im Taschenrechner, wenn Sie den Sinus von 22 ◦
berechnen? Weiter werden wir sehen, wieso es für kleine Winkel α erlaubt ist, sin(α) ≈ α− α3
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zu verwenden. Aber zuvor benötigen wir einige grundlegende Definitionen.
12.1 Grundbegriffe und Definitionen
Definition 12.1.1. Eine Zahlenfolge ist eine geordnete Menge von Zahlen. Die symbolische
Schreibweise lautet
(u n ) n∈N
= u 1 ,u 2 ,...,u n ,...
Die Zahlen u 1 ,u 2 ,...,u n ,... heissen Glieder der Folge, u n ist das n-te Glied u n der Folge.
Beispiel 12.1.1. Wir kennen schon einige solcher Zahlenfolgen.
a.
b.
1, 1 2 , 1 3 , 1 4 ,... Bildungsgesetz: u n = 1 n
1, 1 2 , 1 4 , 1 8 ,... Bildungsgesetz: u n = 1
2 n
Die Berechnung eines allfälligen Grenzwertes geschieht mit den bekannten Methoden.
Definition 12.1.2. Eine Reihe ergibt sich aus einer Zahlenfolge, wenn die Glieder der Zahlenfolge
mit + oder − verbunden werden. Liegen unbeschränkt viele Zahlen vor, so heisst die
Reihe unendlich.
∞∑
u n = u 1 +u 2 +···+u n +··· .
n=1
Beispiel 12.1.2 (Harmonische Reihe). Die Reihe
H =
∞∑
n=1
1
n = 1+ 1 2 + 1 3 + 1 4 +···+ 1 n +···
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