Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

334 Kapitel 20. Arbeit und Linienintegrale
Vektorfelder
Jedem Punkt im Raume (in der Ebene) sei eindeutig ein Vektor zugeordnet, der die in diesem
Punkt vorhandene Feldgrösse, zum Beispiel die Kraft, symbolisch darstellt. Dieser im
Allgemeinen von Punkt zu Punkt verschiedene Vektor heisst Feldvektor und werde mit F ⃗
bezeichnet.
⎛ ⎞
F 1 (x,y,z,t)
⃗F(x,y,z,t) = ⎝ F 2 (x,y,z,t) ⎠.
F 3 (x,y,z,t)
Die Komponenten F i sind dabei Funktionen des Orts (x,y,z) im Raume ((x,y) in der Ebene)
und können eventuell auch noch von der Zeit t abhängen. Im Fall eines zeitunabhängigen
Feldes sprechen wir von einem stationären Vektorfeld.
y
x
Abbildung 20.1.vi: Ebenes stationäres Vektorfeld mit normalisierten Vektoren
Beispiel 20.1.2 (Föhnlage über der Schweiz). Bei der Abbildung 20.1.vii handelt es sich
um eine 33-Stunden-Vorhersage des numerischen Wettervorhersagemodell der Meteo Schweiz.
Die Windpfeile geben die Windrichtung an, die Länge eines Pfeiles entspricht der Windstärke
(rechts oben ist eine Windstärke von 12ms −1 dargestellt). Erkennbar ist in der Abbildung
die Endphase einer starken Föhnströmung, die bis ins östliche Mittelland (Zürichsee/Schaffhausen)
vorstösst. Über dem westlichen Mittelland ist die Front mit Südwestwinden sichtbar.
Die Messungen des automatischen Messnetzes der Meteo Schweiz zeigten zu diesem Zeitpunkt
Föhn am Zürichsee mit 3ms −1 (in Altdorf 13ms −1 ) bei einer Temperatur von 26 ◦ ,
währenddemwestlichvonZürichWestwindherrschteundimGenferseegebiet beiSüdwestwind
von 10ms −1 und einer Temperatur von 18 ◦ Regen einsetzte. An der Punktierung ist ferner
das Modellgebiet zu erkennen, welches auf einer Höhe über 750m liegt. Es handelt sich um
das Alpenmassiv, den Jura, die Vogesen und den Schwarzwald. Selbst mit einem Modell mit
einer Maschenweite von 7km können die Alpentäler noch nicht richtig wiedergegeben werden.
Beispiel 20.1.3 (Laminare stationäre Strömung). Strömungslinien bei einer laminaren stationären
Strömung (vgl. Abbildung 20.1.viii).
Beispiel 20.1.4 (Geschwindigkeitsfeld). Es sei das folgende Geschwindigkeitsfeld
( ) −y ⃗F(x,y) =
x