Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

164 Kapitel 8. Umkehrfunktionen
Lösungen
Lösung 8.1.1. f −1 (x) = x+2
3
Lösung 8.1.2. f −1 (x) = −2x+10
Lösung 8.1.3. f −1 (u) = u+ 3 2
Lösung 8.1.4. f −1 (x) = − x3
2
Lösung 8.1.5. f −1 (u) = (4−u) 2
Lösung 8.1.6. f −1 (x) = f(x)
Lösung 8.1.7. f −1 (t) = 1 2√ t−2
Lösung 8.1.8. f −1 (x) = log 2 (x−1)
Lösung 8.1.9. f −1 (x) = e x−1
Lösung 8.1.10. Die Funktion f : [−r,0] → [0,r] ist streng monoton wachsend, also ergibt
sich auf dem Intervall [−r,0] die Umkehrfunktion f −1 (ϕ) = −f(ϕ).
Die Funktion f : [0,r] → [0,r] ist streng monoton fallend, also ergibt sich auf dem Intervall
[0,r] die Umkehrfunktion f −1 (ϕ) = f(ϕ).
Lösung 8.1.11. f −1 (x) = f(x)
[ ] [ ]
Lösung 8.1.12. Die Funktion f : −√ 2 1
3
, √3 → −√ 1 2
3
, √3 ist streng monoton wachsend,
[ ]
also ergibt sich auf dem Intervall −√ 2 1
3
, √3 die Umkehrfunktion f −1 (x) = 1 2 (x−√ 4−3x 2 ).
[ ]
Die Funktion f : 1√3 2
, √3
Intervall
→ [ 2 √
3
,
1 √3 ] ist streng monoton fallend, also ergibt sich auf dem
[ ]
√3 1 2
, √3 die Umkehrfunktion f −1 (x) = f(x) = 1 2 (x+√ 4−3x 2 ).
Lösung 8.1.13. f −1 (α) = α 2 − α4
4
Lösung 8.1.14. f −1 (u) = 4 √
1− (2−u2 ) 2
4
Lösung 8.1.15. f −1 (x) = (x+ √ x 2 −1) 3
8.2 Arkusfunktionen (Zyklometrische Funktionen)
Das elementare Problem, das zu Grunde liegt, ist folgendes. Zu einem bestimmten Wert
einer trigonometrischen Funktion (Kreisfunktion) ist der zugehörige Winkel im Bogenmass
zu bestimmen. Das führt auf das Problem der Umkehrfunktion zu einer trigonometrischen
Funktion. Wie bei den Beispielen im letzten Abschnitt müssen wir uns auf Monotoniebereiche
begrenzen. Wir nehmen solche, die möglichst um den Ursprung herum liegen. Die Umkehrfunktionen
der trigonometrischen Funktionen heissen Arkusfunktionen (arcus lat. Bogen),
da die Funktionswerte sich geometrisch als Masszahlen der Bogenlänge eines Einheitskreises
deuten lassen (vgl. Abbildung 9.1.vi).
1. Umkehrfunktion der Sinusfunktion: DieFunktionf(x) = sin(x) iststrengmonoton
im Intervall [− π 2 , π 2
]. Wir bezeichnen die Umkehrfunktion mit
f −1 (x) = arcsin(x),