Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

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c○ Copyright 2002–2013 by Marcel Steiner-Curtis, FHNW Die Verteilung dieses Dokuments in gedruckter und elektronischer Form ist gestattet, solange sein Inhalt einschliesslich Autoren- und Copyright-Angabe unverändert bleibt und die Verteilung kostenlos erfolgt, abgesehen von einer Gebühr für den Kopiervorgang usw. Dieses Dokument wurde mit L A TEX gesetzt. Prof. Dr. Marcel Steiner-Curtis FHNW Fachhochschule Nordwestschweiz Hochschule für Technik Bahnhofstrasse 6 CH-5210 Windisch marcel.steiner@fhnw.ch www.fhnw.ch/personenseiten/marcel.steiner/
Liebe Studierende Sie lesen das Vorwort der zweiten Version des Analysis-Skriptums. Gratuliere – Sie sind mutiger als die meisten Ihrer Mitmenschen, die beim Anblick von Mathematik bereits das Handtuch werfen. Ich lade Sie hiermit ein, mit mir, den zum Teil beschwerlichen und arbeitsaufwändigen Weg zu gehen, Mathematik zu lernen, zu entdecken, zu spüren, um dann mit Mathematik zu spielen, und last but not least, und deshalb sind Sie ja hier, Mathematik anzuwenden. Den letzten Aspekt sollten wir nie aus den Augen verlieren – die Anwendungen der Mathematik. Holen Sie mich aus meinen Träumereien heraus, wenn ich ab und zu beginne, von hochdimensionalen Räumen, nicht-ganzzahligen Dimensionen oder Riemannschen Mannigfaltigkeiten zu schwärmen. In einem solchen Fall wäre ich dann “abgespaced”, wie es ein Student vor ein paar Jahren zu mir sagte. Bei einem Computer würde in diesem Fall von einer Endlosschlaufe gesprochen. Obwohl wir an einer Fachhochschule sind, möchte ich andererseits den ästhetischen Aspekt der Mathematik nicht ganz aus den Augen lassen. Vorher fiel das Stichwort Computer. Lassen Sie mich meine persönliche Meinung zur Lernweise in Mathematik äussern: Hier an der Fachhochschule ist Mathematik ein Grundlagenfach, das heisst, wir werden die Dinge von der Pike auf lernen 1 . Mein Ziel ist es, dass Sie die grundlegenden Sachverhalte verstehen, anwenden und interpretieren können. Es reicht nicht, wenn Sie einen Taschenrechner oder Computer besitzen, von dem Sie wissen, dass er es im Prinzip kann. Sie sind nicht in einer Klubschule, wo Sie einen Kurs in Microdoof-Analysis belegen. In diesem Zusammenhang möchte ich Sie auffordern, in der Mathematik einen tieferen Sinn zu suchen, und nicht Mathematik nur als sinnloses herumschieben von Hieroglyphen zu betrachten, bei dem ab und zu ein richtiges Resultat herauskommt. Seien Sie immer kritisch und fragen Sie sich, weshalb etwas so oder so ist (vgl. Was ist falsch? in Kapitel A.1.1). Versuchen Sieauch dieZusammenhängezwischen den einzelnen Mathematikfächern Analysis, Geometrie, lineare Algebra und Stochastik herzustellen. Die Abgrenzungen zwischen diesen Fächern sind oft willkürlich und historisch bedingt. Welches sind die Grundvoraussetzungen dieses Kurses? – Die Antwort ist klar: nicht mehr – aber auch nicht weniger – als Die Mathematik der technischen Berufsmaturität wie sie durch den Rahmenlehrplan des BBT 2 vorgeschrieben ist. Wenn Sie glauben, Schwächen bezüglich der Berufsmaturamathematik zu haben, dann empfehle ich Ihnen das Buch Die Mathematik der technischen Berufsmaturität von H.R. Schärer, W. Meier und S. Niggli, [25], zur seriösen Aufarbeitung Ihrer Wissenslücken. Es ist mir zutiefst bewusst, dass noch kein Meister vom Himmel gefallen ist. Wir stehen 1 GrundlagenausbildunginMathematikistsehrrelativ.AberwirwerdensichernichtÜberlegungenanstellen, weshalb 1+1 = 2ist, obwohl dieseinesehrinteressante, nicht-trivialeFrage wäre. Falls Siegleichwohl ansolchen akademischen, weltbewegenden Fragen interessiert sind, verweise ich Sie auf ein Mathematikstudium an der Universität. 2 Bundesamt für Berufsbildung und Technologie i
Seite 1: Analysis I - IV (an) Prof. Dr. Marc
Seite 5 und 6: Inhaltsverzeichnis Liebe Studierend
Seite 7 und 8: v 12 Unendliche Reihen 231 12.1 Gru
Seite 9 und 10: vii A.4.2 Epizykloide - Wankelmotor
Seite 11 und 12: Kapitel 1 Grundbegriffe der Mengenl
Seite 13 und 14: 1.4. Zahlenmengen und Punktmengen 3
Seite 15 und 16: 1.5. Ebene und räumliche Punktmeng
Seite 21 und 22: Kapitel 2 Funktionen 2.1 Beispiele
Seite 23 und 24: 2.2. Der Funktionsbegriff 13 Eine F
Seite 25 und 26: 2.4. Potenzfunktionen 15 2.4 Potenz
Seite 27 und 28: 2.4. Potenzfunktionen 17 Lösung 2.
Seite 29 und 30: 2.4. Potenzfunktionen 19 y y y = 1
Seite 31 und 32: 2.5. Polynomfunktionen zweiten Grad
Seite 33 und 34: 2.6. Exponentialfunktionen 23 y y 1
Seite 35 und 36: 2.8. Monotonie 25 y y ax 3 −ax 3
Seite 37 und 38: • • 2.10. Differenzenquotient 2
Seite 39 und 40: 2.10. Differenzenquotient 29 Der Au
Seite 41 und 42: 2.10. Differenzenquotient 31 Die Au
Seite 43 und 44: Kapitel 3 Grenzwerte 3.1 Grenzwerte
Seite 45 und 46: 3.1. Grenzwerte von Zahlenfolgen 35
Seite 47 und 48: 3.1. Grenzwerte von Zahlenfolgen 37
Seite 49 und 50: 3.3. Grenzwerte von Funktionen 39 3
Seite 51 und 52: 3.3. Grenzwerte von Funktionen 41 s
Seite 53 und 54:
3.3. Grenzwerte von Funktionen 43 g
Seite 55 und 56:
3.4. Stetigkeit einer Funktion 45 3
Seite 57 und 58:
3.5. Singularitäten einer Funktion
Seite 59 und 60:
3.5. Singularitäten einer Funktion
Seite 61 und 62:
3.6. Verhalten von Funktionen im Un
Seite 63 und 64:
Kapitel 4 Differenzialrechnung 4.1
Seite 65 und 66:
4.1. Tangentenproblem, Ableitung 55
Seite 67 und 68:
4.2. Fakultäten, Binomialkoeffizie
Seite 69 und 70:
Seite 71 und 72:
Seite 73 und 74:
4.3. Ableitung der Potenzfunktion 6
Seite 75 und 76:
4.4. Grundregeln der Differenzialre
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4.5. Ableitung eines Produkts 67 L
Seite 79 und 80:
4.6. Ableitung eines Quotienten 69
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4.6. Ableitung eines Quotienten 71
Seite 83 und 84:
4.7. Ableitung der trigonometrische
Seite 85 und 86:
4.7. Ableitung der trigonometrische
Seite 87 und 88:
4.8. Logarithmen 77 Diefolgendensog
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4.8. Logarithmen 79 Aufgabe 4.8.5.
Seite 91 und 92:
4.10. Differenzial einer Funktion 8
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4.11. Ableitung von verknüpften Fu
Seite 95 und 96:
Seite 97 und 98:
Seite 99 und 100:
4.12. Ableitung impliziter Funktion
Seite 101 und 102:
4.12. Ableitung impliziter Funktion
Seite 103 und 104:
4.13. Differenzieren nach Logarithm
Seite 105 und 106:
4.13. Differenzieren nach Logarithm
Seite 107 und 108:
4.14. Höhere Ableitungen 97 In dif
Seite 109 und 110:
4.15. Differenzierbarkeit einer Fun
Seite 111 und 112:
4.15. Differenzierbarkeit einer Fun
Seite 113 und 114:
Kapitel 5 Anwendungen der Differenz
Seite 115 und 116:
5.1. Physik 105 Aufgabe 5.1.5. Ein
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5.2. Gleichungen numerisch lösen 1
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Seite 121 und 122:
Seite 123 und 124:
5.3. Uneigentliche Grenzwerte - Reg
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Seite 127 und 128:
Seite 129 und 130:
5.4. Untersuchung von Funktionen -
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5.4. Untersuchung von Funktionen -
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5.5. Beispiele einer Kurvendiskussi
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Seite 137 und 138:
Seite 139 und 140:
Seite 141 und 142:
5.6. Krümmung, Krümmungskreis, Ev
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Seite 147 und 148:
Kapitel 6 Integralrechnung 6.1 Das
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6.1. Das unbestimmte Integral 139 y
Seite 151 und 152:
6.2. Das bestimmte Integral 141 Wen
Seite 153 und 154:
6.3. Integrationsregeln 143 Beweis.
Seite 155 und 156:
6.5. Allgemeine Flächenberechnunge
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Seite 159 und 160:
Seite 161 und 162:
Kapitel 7 Das Riemannsche Integral
Seite 163 und 164:
7.1. Das bestimmte Integral als Gre
Seite 165 und 166:
Seite 167 und 168:
Seite 169 und 170:
Kapitel 8 Umkehrfunktionen 8.1 Defi
Seite 171 und 172:
8.1. Definition der Umkehrfunktion
Seite 173 und 174:
8.1. Definition der Umkehrfunktion
Seite 175 und 176:
8.2. Arkusfunktionen (Zyklometrisch
Seite 177 und 178:
Seite 179 und 180:
Seite 181 und 182:
Seite 183 und 184:
Kapitel 9 Hyperbelfunktionen und ih
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9.1. Hyperbelfunktionen 175 y 1 y =
Seite 187 und 188:
9.1. Hyperbelfunktionen 177 4. ∫
Seite 189 und 190:
9.1. Hyperbelfunktionen 179 Dabei w
Seite 191 und 192:
9.2. Areafunktionen (Flächenfunkti
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9.2. Areafunktionen (Flächenfunkti
Seite 195 und 196:
Kapitel 10 Volumen, Oberflächen- u
Seite 197 und 198:
10.1. Volumen von Rotationskörpern
Seite 199 und 200:
10.1. Volumen von Rotationskörpern
Seite 201 und 202:
10.2. Bogenlänge einer Kurve 191 L
Seite 203 und 204:
10.3. Mantelfläche von Rotationsk
Seite 205 und 206:
Kapitel 11 Integrationsmethoden Die
Seite 207 und 208:
11.1. Integration durch Substitutio
Seite 209 und 210:
Seite 211 und 212:
Seite 213 und 214:
Seite 215 und 216:
Seite 217 und 218:
Seite 219 und 220:
11.2. Partielle Integration 209 b.
Seite 221 und 222:
11.2. Partielle Integration 211 Nun
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11.2. Partielle Integration 213 Lö
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11.2. Partielle Integration 215 Auf
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11.3. Integration rationaler Funkti
Seite 229 und 230:
Seite 231 und 232:
Seite 233 und 234:
Seite 235 und 236:
Seite 237 und 238:
Seite 239 und 240:
Seite 241 und 242:
Kapitel 12 Unendliche Reihen Unendl
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12.1. Grundbegriffe und Definitione
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12.3. Konvergenzkriterien 235 b. Di
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12.3. Konvergenzkriterien 237 Alter
Seite 249 und 250:
12.3. Konvergenzkriterien 239 v 1
Seite 251 und 252:
12.3. Konvergenzkriterien 241 Beisp
Seite 253 und 254:
12.3. Konvergenzkriterien 243 Mit d
Seite 255 und 256:
12.4. Konvergenzverhalten der hyper
Seite 257 und 258:
12.5. Potenzreihen 247 Zu den folge
Seite 259 und 260:
12.5. Potenzreihen 249 1. Mit dem Q
Seite 261 und 262:
12.5. Potenzreihen 251 • Amlinken
Seite 263 und 264:
12.7. Taylorreihe einer Funktion 25
Seite 265 und 266:
12.8. Geometrische Bedeutung der Ta
Seite 267 und 268:
12.9. Allgemeine Form der Taylorrei
Seite 269 und 270:
12.10. Binomische Reihe 259 12.10 B
Seite 271 und 272:
12.11. Methoden zur Reihenentwicklu
Seite 273 und 274:
12.12. Erweiterte Ansatzmethode zur
Seite 275 und 276:
Seite 277 und 278:
Seite 279 und 280:
Kapitel 13 Funktionen mehrerer unab
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13.2. Geometrische Darstellung 271
Seite 283 und 284:
13.3. Partielle Ableitungen 273 z z
Seite 285 und 286:
13.4. Der Satz von Schwarz 275 13.4
Seite 287 und 288:
13.4. Der Satz von Schwarz 277 Abbi
Seite 289 und 290:
13.5. Das vollständige Differenzia
Seite 291 und 292:
Seite 293 und 294:
13.7. Museum of Mathematical Art 28
Seite 295 und 296:
13.7. Museum of Mathematical Art 28
Seite 297 und 298:
Kapitel 14 Ableitung impliziter Fun
Seite 299 und 300:
Seite 301 und 302:
Kapitel 15 Gradient und Tangentiale
Seite 303 und 304:
15.2. Berechnung der Tangentialeben
Seite 305 und 306:
Kapitel 16 Extremstellen bei mehrer
Seite 307 und 308:
16.1. Notwendige und hinreichende B
Seite 309 und 310:
16.2. Methode der kleinsten Quadrat
Seite 311 und 312:
16.2. Methode der kleinsten Quadrat
Seite 313 und 314:
Kapitel 17 Approximation mit minima
Seite 315 und 316:
17.2. Approximation von diskreten F
Seite 317 und 318:
Seite 319 und 320:
Seite 321 und 322:
Kapitel 18 Extremwerte mit Nebenbed
Seite 323 und 324:
18.2. Lagrangemultiplikatoren 313 d
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18.2. Lagrangemultiplikatoren 315 W
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18.2. Lagrangemultiplikatoren 317 L
Seite 329 und 330:
Kapitel 19 Mehrfache Integrale Zur
Seite 331 und 332:
19.2. Verallgemeinerung des Fläche
Seite 333 und 334:
19.2. Verallgemeinerung des Fläche
Seite 335 und 336:
19.3. Variablensubstitution in eine
Seite 337 und 338:
19.4. Berechnung von Trägheitsmome
Seite 339 und 340:
19.4. Berechnung von Trägheitsmome
Seite 341 und 342:
Kapitel 20 Arbeit und Linienintegra
Seite 343 und 344:
20.1. Kurven und Vektorfelder im Ra
Seite 345 und 346:
20.1. Kurven und Vektorfelder im Ra
Seite 347 und 348:
20.2. Das Linienintegral 337 y x Ab
Seite 349 und 350:
20.2. Das Linienintegral 339 Beispi
Seite 351 und 352:
20.2. Das Linienintegral 341 y P(1,
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20.3. Linienintegral im Potenzialfe
Seite 355 und 356:
Seite 357 und 358:
Seite 359 und 360:
Seite 361 und 362:
Kapitel 21 Differenzialgleichungen
Seite 363 und 364:
21.3. Problemstellungen mit Differe
Seite 365 und 366:
21.5. Differenzialgleichungen von K
Seite 367 und 368:
21.6. Integration von Differenzialg
Seite 369 und 370:
Seite 371 und 372:
Seite 373 und 374:
21.7. Orthogonaltrajektorien 363 b.
Seite 375 und 376:
21.8. Integration von linearen Diff
Seite 377 und 378:
21.9. Variation der Konstanten 367
Seite 379 und 380:
21.9. Variation der Konstanten 369
Seite 381 und 382:
21.10. Ansatzmethode und Superposit
Seite 383 und 384:
Seite 385 und 386:
Seite 387 und 388:
21.11. Differenzialgleichungen zwei
Seite 389 und 390:
21.11. Differenzialgleichungen zwei
Seite 391 und 392:
21.12. Allgemeine Betrachtungen zu
Seite 393 und 394:
21.13. Homogene lineare Differenzia
Seite 395 und 396:
Seite 397 und 398:
Seite 399 und 400:
21.15. Inhomogene lineare Differenz
Seite 401 und 402:
Seite 403 und 404:
Seite 405 und 406:
21.16. Zusammenstellung der Lösung
Seite 407 und 408:
Kapitel 22 Differenzialgleichungen
Seite 409 und 410:
22.1. Freier Fall mit und ohne Luft
Seite 411 und 412:
22.2. Randwertprobleme, Eigenwerte
Seite 413 und 414:
22.2. Randwertprobleme, Eigenwerte
Seite 415 und 416:
22.3. Die freie Schwingung 405 Wenn
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22.3. Die freie Schwingung 407 R R
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22.3. Die freie Schwingung 409 Aufg
Seite 421 und 422:
22.4. Die erzwungene Schwingung 411
Seite 423 und 424:
Seite 425 und 426:
Seite 427 und 428:
Kapitel 23 Systeme von Differenzial
Seite 429 und 430:
23.1. Systeme von linearen Differen
Seite 431 und 432:
Anhang A Anwendungen A.1 Elementare
Seite 433 und 434:
A.2. Folgen 423 Abbildung A.2.i: Ta
Seite 435 und 436:
A.2. Folgen 425 x Um lim n+1 −x x
Seite 437 und 438:
A.3. Fraktale 427 Abbildung A.3.ii:
Seite 439 und 440:
A.3. Fraktale 429 n = 1 Iterationen
Seite 441 und 442:
A.4. Rollkurven 431 A.3.4 Mengerwü
Seite 443 und 444:
A.5. Bauwerke mathematisch betracht
Seite 445 und 446:
A.5. Bauwerke mathematisch betracht
Seite 447 und 448:
A.6. Aus der Stochastik 437 berechn
Seite 449 und 450:
Anhang B Tafeln B.1 Tafel der Grund
Seite 451 und 452:
Literaturverzeichnis [1] M. Aigner
Seite 453 und 454:
Index N, 1 N 0 , 1 Z, 1 Q, 1 R, 1 C
Seite 455 und 456:
Index 445 Entropie, 349 Entwicklung
Seite 457 und 458:
Index 447 abgeschlossen, 4 beschrä
Seite 459 und 460:
Index 449 Nullstelle, 21 Formel, 21
Seite 461 und 462:
Index 451 Stokes George Gabriel, 18
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