Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

5.3. Uneigentliche Grenzwerte - Regel von de l’Hospital 115
Abbildung 5.3.i: Guillaume François Antoine Marquis de l’Hospital, 1661-1704
a. Wir wollen den Grenzwert lim x→0
sin(x)
x
berechnen. Da lim x→0 sin(x) = lim x→0 x = 0,
sind die Voraussetzungen zur Anwendung der Regel von de l’Hospital erfüllt. Also folgt
b. Der Grenzwert lim x→0
x 2 −2+2cos(x)
x 4
sin(x) cos(x)
lim = lim = 1.
x→0 x x→0 1
sei zu berechnen. Da
lim
x→0 (x2 −2+2cos(x)) = lim x 4 = 0,
x→0
können wir die Regel von de l’Hospital einmal anwenden.
x 2 −2+2cos(x) 2x−2sin(x)
lim
x→0 x 4 = lim
x→0 4x 3
Nun stellen wir aber fest, dass lim x→0 (2x − 2sin(x)) = lim x→0 4x 3 = 0. Also wenden
wir die Regel eine weiteres Mal an. So fahren wir fort, bis zum ersten Mal eine nicht
unbestimmte Rechenoperation auftaucht. Dann bilden wir den Grenzübergang
x 2 −2+2cos(x) 2x−2sin(x)
lim
x→0 x 4 = lim
x→0 4x 3 Regel anwenden da 0 0
= lim
x→0
2−2cos(x)
12x 2 Regel anwenden da 0 0
= lim
x→0
2sin(x)
24x
= lim
x→0
2cos(x)
24
= 1
12 .
Regel anwenden da 0 0
2
Grenzübergang da
24
c. Es sei n ∈ N 0 . Nun wenden wir die Regel von de l’Hospital n-mal an, um den Grenzwert
x n
lim
x→∞ e x = lim nx n−1
x→∞ e x
n!
= ··· = lim
x→∞ e x = 0
zu berechnen. Wir müssen aufpassen, dass wir jedes Mal die Voraussetzungen testen
und nicht zu oft differenzieren.