Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

56 Kapitel 4. Differenzialrechnung
• Für den Fall x = 0 müssten wir den Grenzwert
g ′ |∆x|
(0) = lim
(4.1.a)
∆x→0 ∆x
berechnen, aber dies ergibt ein Problem: Der rechtsseitige Grenzwert stimmt nicht mit
dem linksseitigen überein:
|∆x|
lim
∆x↓0 ∆x = 1 und
Anders gesagt existiert der Grenzwert (4.1.a) nicht.
Wir haben herausgefunden, dass
g ′ (x) =
{
1 wenn x > 0
−1 wenn x < 0,
lim |∆x|
∆x↑0 ∆x = −1.
aber an der Stelle x = 0 ist die Funktion g nicht differenzierbar.
Die Funktion des obigen Beispieles ist an der Stelle x = 0 stetig, jedoch dort nicht differenzierbar.
Auf der anderen Seite können wir beweisen, dass eine Funktion, die an einer gewissen
Stelle differenzierbar ist, dort auch stetig sein muss.
Satz 4.1.1. Es sei f eine Funktion, die an der Stelle x = a ihres Definitionsbereiches differenzierbar
ist. Dann ist f an der Stelle x = a auch stetig.
Beweis. Wir müssen zeigen, dass der Grenzwert
lim f(x)
x→a
existiert undgleich f(a) ist (vgl. Definition 3.4.1). Wir setzen x = a+h, wobei h eine beliebige
gegen null strebende Folge ist. Dann gilt
f(a+h)−f(a)
lim f(x) = lim f(a+h) = lim ·h+f(a)
x→a h→0 h→0 h
f(a+h)−f(a)
= lim · lim h+ lim f(a) = f ′ (a)·0+f(a) = f(a).
h→0 h h→0 h→0
Als nächstes möchten wir die erste Ableitung der allgemeinen Potenzfunktion ermitteln. Dazu
brauchen wir einige Hilfsmittel aus der Algebra.
4.2 Fakultäten, Binomialkoeffizienten, Binomischer Satz
Beim Ausmultiplizieren von Binomen treten Summanden mit bestimmten Exponenten und
Faktoren auf. Die Faktoren heissen Binomialkoeffizienten und können bekanntlich im Pascalschen
Dreieck dargestellt werden.
(a+b) 0 = 1 1
(a+b) 1 = a+b 1 1
(a+b) 2 = a 2 +2ab+b 2 1 2 1
(a+b) 3 = a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3 1 3 3 1
(a+b) 4 = a 4 +4a 3 b+6a 2 b 2 +4ab 3 +b 4 1 4 6 4 1
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