Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

13.4. Der Satz von Schwarz 277
Abbildung 13.4.iv: Pierre Simon Laplace, 1749-1827
a. f(x,y) = x 5 +2x 3 y 2 +2y 5
b. f(x,y,z) = xy +yz +zx.
c. f(x,y) = x−y
x+y
d. f(x,y) = 2sin(x+y)cos(x−y)
)
e. f(x,y) = ln
(
sin(y)
sin(x)
Aufgabe 13.4.2. Es sei die Funktion f(x,y,z) = (x − y) z gegeben. Zeigen Sie, ohne den
Satz von Schwarz zu benutzen, dass f xyz = f zyx .
Aufgabe 13.4.3. Es sei die Funktion f(x,y,z) = x 2 ln(sin(y−z)) gegeben. Zeigen Sie, ohne
den Satz von Schwarz zu benutzen, dass f xyz = f zyx und f yyz = f zyy .
Aufgabe 13.4.4. Es sei die Funktion f(x,y) = e y arcsin(x − y) gegeben. Zeigen Sie, dass
f x +f y = f.
Aufgabe 13.4.5. Es sei die Funktion f(x,y,z) = ln(x 3 +y 3 +z 3 −3xyz) gegeben. Berechnen
Sie f x +f y +f z .
x 2
y
Aufgabe 13.4.6. Es sei die Funktion f(x,y) = e
2 gegeben. Zeigen Sie, dass xf x +yf y = 0.
(√ )
Aufgabe 13.4.7. Berechnen Sie △f für die Funktion f(x,y,z) = ln x 2 +y 2 +z 2 .
(
Aufgabe 13.4.8. Berechnen Sie △f für die Funktion f(x,y,z) = ln
Lösungen
Lösung 13.4.1.
a. f xx = 20x 3 +12xy 2 , f yy = 4x 3 +40y 3 und f xy = f yx = 12x 2 y
b. f xx = f yy = f zz = 0 und f xy = f yz = f zx = 1
1
x 2 +y 2 +z 2 ).