Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

270 Kapitel 13. Funktionen mehrerer unabhängiger Variablen
13.2 Geometrische Darstellung
Erinnern wir uns kurz, wie wir Grafen von Funktionen einer Variablen f : X f → R grafisch
darstellen. Wir tragen über jedem Abszissenwert x ∈ X f die Höhe y = f(x) ab. Alle
Punktepaare P(x,f(x)) zusammen ergeben den Grafen der Funktion f.
y
y = f(x)
y
P
•
•
x
x
Abbildung 13.2.i: Darstellung der Funktion f einer Variablen mittels Grafen y = f(x).
Nun machen wir genau das gleiche mit Funktionen zweier Variablen f : R 2 → R. Jedem
Punkt P 1 (x,y) in der Grundebene wird der Punkt
P(x,y,z) = P(x,y,f(x,y))
zugeordnet. Die Gesamtheit der Punkte P bildet eine Fläche im Raum.
z
z = f(x, y)
•
P
x
x
•
P 1
y
y
Abbildung 13.2.ii: Darstellung der Funktion f zweier Variablen mittels Grafen z = f(x,y).
Funktionen, die von drei oder mehr Variablen abhängen, können nicht mehr im dreidimensionalen
Raum dargestellt werden, da es im dreidimensionalen Raum zu wenig Platz hat, um
vier oder mehr Dimensionen darstellen zu können. Ausgehend vom Begriff der Fläche im dreidimensionalen
Raum wird in Analogie dazu der Begriff der Hyperfläche im n-dimensionalen
Raum verwendet.
Es stellt sich das Problem zu einer gegebenen Funktionsgleichung z = f(x,y) die zugehörige
Fläche zu visualisieren. Eine Methode besteht darin, zu den drei Koordinatenebenen parallele
Ebenen zu legen und diese mit der Fläche zu schneiden. Diese Schnittkurven ergeben uns
oft ein ausreichendes Bild, um uns die Fläche bildlich vorstellen zu können. Ein Beispiel
dazu sind die Höhen- oder Niveaulinien einer Flächendarstellung z = f(x,y), die durch