Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

134 Kapitel 5. Anwendungen der Differenzialrechnung
Demzufolge wird der Krümmungsmittelpunkt zu
M(ξ,η) =
( x
y)
+r⃗n =
( x
y)
+ 1 k ⃗n.
Also erhalten wir die Parameterdarstellung der Evolute
ẋ 2 (t)+ẏ 2 (t)
ξ(t) = x(t)−ẏ(t)
ẋ(t)ÿ(t)−ẍ(t)ẏ(t)
ẋ 2 (t)+ẏ 2 (t)
und η(t) = y(t)+ẋ(t)
ẋ(t)ÿ(t)−ẍ(t)ẏ(t) .
Falls dieKurveinderDarstellung y = f(x)gegeben ist, solautet dieParameterdarstellung
der Evolute
ξ(x) = x−f ′ (x) 1+(f′ (x)) 2
f ′′ (x)
und η(x) = f(x)+ 1+(f′ (x)) 2
f ′′ .
(x)
Beispiel 5.6.4. Wir berechnen die Evolute der Parabel y = x 2 . Dazu bilden wir die Ableitungen
y ′ = 2x und y ′′ = 2. Nun parametrisieren wir die Evolute
ξ(x) = x−2x 1+4x2
2
= −4x 3 und η(x) = x 2 + 1+4x2
2
= 1 2 +3x2 .
Wir können die Evolute der Parabel auch als Funktion schreiben, wenn wir ξ = −4x 3 nach
η
Evolvente
Evolute
Abbildung 5.6.iv: Evolute der Parabel (Evolvente)
x auflösen und in η(x) = 1 2 +3x2 einsetzen. Dann erhalten wir
Aufgaben
η(ξ) = 1 2 +3 3 √
ξ
2
16 .
Aufgabe 5.6.1. Berechnen Sie die Krümmung des Halbkreises y = √ r 2 −x 2 . Wieso ist die
Krümmung negativ?
Aufgabe 5.6.2. Wie gross ist der Krümmungsradius der Parabel mit der Gleichung
y 2 = 2px
im Scheitelpunkt, wenn der Parameter p ∈ R fest gewählt wurde?
ξ