Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

242 Kapitel 12. Unendliche Reihen
a. Gilt
lim
n→∞
√
n
|un | < 1,
so konvergiert die Reihe und zwar sogar absolut.
b. Gilt
lim
n→∞
√
n |un | = 1,
so kann nichts über die Konvergenz der Reihe ausgesagt werden.
c. Gilt
so divergiert die Reihe.
lim
n→∞
√
n
|un | > 1,
Beispiel 12.3.8. Wir betrachten nun einige Anwendungen des Wurzelkriteriums.
a. Untersuche die Reihe
Wir betrachten die n-te Wurzel
∞∑
n=1
1
n n.
lim
n→∞
√
n |un | = lim
n→∞
also konvergiert die Reihe ∑ ∞
n=1 1
n n .
√ ∣∣∣∣
1
n
∣ ∣∣∣ 1
n n = lim
n→∞ n = 0 < 1
b. Untersuche die Reihe
Wir betrachten die n-te Wurzel
∞∑
n=0
2+(−1) n
2 n .
lim
n→∞
√
n
|un | = lim
n→∞
√ ∣∣∣∣
2+(−1) n
n
2 n ∣ ∣∣∣
= lim
n→∞
√
n 2+(−1) n
2 n .
Es folgt
für alle n ∈ N und da
√ √ √
n 1 2+(−1)
2 n ≤ n 3
n
2 n ≤ n 2 n.
folgt
√
1
2 = lim
n 1
n→∞ 2 n ≤ lim
n→∞
lim
n→∞
Also konvergiert die Reihe ∑ ∞ 2+(−1) n
n=0 2
. n
√
2+(−1) n
n
√
n 3
2 n ≤ lim
n→∞ 2 n = 1 2 ,
√
n |un | = 1 2 < 1.