Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

15.2. Berechnung der Tangentialebene 293
z
z = x 2 + y 2
x 2 + y 2 = z 0
•
z 0
•
grad(F)
x
y
Abbildung 15.1.i: Gradient grad(F) steht senkrecht auf der Fläche F(x,y,z) = 0.
15.2 Berechnung der Tangentialebene
Mit Hilfe des Gradienten lässt sich die Gleichung der Tangentialebene in einem Punkt
P(x 0 ,y 0 ,z 0 ) einer gegebenen Fläche F(x,y,z) = 0 bestimmen (vgl. Abbildung 15.2.i).
Der Gradient kann als Normalenvektor der Tangentialebene genommen werden. Falls die
Tangentialebene die Gleichung
besitzt, so hat der Gradient die Form 1
Ax+By +Cz +D = 0
⎛
grad(F) = ⎝
⎞ ⎛
F x
F y
⎠ = ⎝
F z
Beispiel 15.2.1. Wir berechnen die Tangentialebene im Punkt P(1,1,2) des Rotationsparaboloids
F(x,y,z) = x 2 +y 2 −z = 0.
Der Gradient im Punkt P(x 0 ,y 0 ,z 0 ) ist
grad(F(x 0 ,y 0 ,z 0 )) = ⎝
Demzufolge ist die Gleichung der Tangentialebene an das Rotationsparaboloids im Punkt
P(x 0 ,y 0 ,z 0 )
2x 0 x+2y 0 y −z +D = 0,
⎛
A
B
C
2x 0
2y 0
−1
⎞
⎠.
⎞
⎠.
gilt.
1 Beachten Sie, dass
⎛
grad(Ax+By +Cz +D) = ⎝
A
B
C
⎞
⎠