Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

Kapitel 15
Gradient und Tangentialebene
Wir betrachten einen Punkt P(x,y,z) einer regulären Fläche z = f(x,y) und alle durch diesen
Punkt laufenden Kurven. Dann liegen in der Regel alle zugehörigen Kurventangenten im
Punkt P(x,y,z) in ein und derselben Ebene, der so genannten Tangentialebene der Fläche
des Punktes P(x,y,z). Mit Hilfe des so genannten Gradienten lässt sich diese Tangentialebeneauf
elegante Art beschreiben.Der Gradient ist ein Vektor, dersich aus derBeschreibung
der Fläche z = f(x,y) berechnen lässt und in jedem Punkt der Fläche senkrecht auf ihr steht.
15.1 Berechnung des Gradienten
Wir betrachten die Fläche mit der Gleichung
und deren implizite Funktion
z = f(x,y)
F(x,y,z) = 0
zwischen den drei Variablen x,y und z = f(x,y).
Beispiel 15.1.1. Die Funktion f(x,y) = √ r 2 −x 2 −y 2 beschreibt die Fläche z = f(x,y) im
Raum. Die dazu gehörigen Gleichungen in den drei Variablen x,y,z sind
F(x,y,z) = x 2 +y 2 +z 2 −r 2 = 0 und z ≥ 0.
Anbei handelt es sich um konzentrische Halbkugelschalen für verschiedene Radien r.
Zu einer solchen Funktion gehört ein bestimmter Vektor: der so genannte Gradient der
skalaren Funktion F.
⎛ ⎞
F x
grad(F) = ⎝ F y
⎠ = F x ⃗e x +F y ⃗e y +F z ⃗e z
F z
Seine Komponenten in einem Raumpunkt sind die Werte der partiellen Ableitungen nach
den entsprechenden Variablen. Da die Gleichung F(x,y,z) = 0 mit beliebigen reellen Zahlen
(ungleich null) multipliziert werden kann, ohnedieFläche zu verändern, ist der Gradient nicht
invariant unter solchen Änderungen. Die Länge und das Vorzeichen des Gradienten hängen
ab von der gewählten impliziten Funktion F. Hingegen gilt der nachfolgende wichtige Satz.
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