Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

52 Kapitel 3. Grenzwerte
Im Zähler stehen ausser dem Summanden a n nur Nullfolgen. Im Nenner stehen einige
Summanden mit positiven Potenzen von x, dann an einer bestimmten Stelle eine
Konstante und schliesslich nur noch Nullfolgen. Somit folgt
lim f(x) = 0.
x→±∞
• n = m
Wir können in diesem Fall den Grenzwert wie folgt umschreiben:
a n +a n−1 x −1 +···+a 1 x 1−n +a 0 x −n
lim f(x) = lim
x→±∞ x→±∞ b n +b n−1 x −1 +···+b 1 x 1−n +b 0 x −n .
Hier stehen im Zähler und Nenner jeweils eine Konstante plus Nullfolgen. Wir erhalten
lim f(x) = a n
.
x→±∞ b n
• n > m
Hier sprechen wir von einer unecht gebrochenrationalen Funktion. In diesem Fall
haben wir eine reziproke Anordnung zum Fall n < m:
a n x n−m +a n−1 x n−m−1 +···+a 1 x 1−m +a 0 x −m
lim f(x) = lim
x→±∞ x→±∞ b m +b m−1 x −1 +···+b 1 x 1−m +b 0 x −m .
Dieser Grenzwert ist entweder ∞ oder −∞, je nach Vorzeichen des Quotienten an
b m
.
Damit haben wir die wichtigsten Werkzeuge, um nun die Differenzialrechnung zu entwickeln.