Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

12.3. Konvergenzkriterien 239
v 1
•
v 6
•
•
•
u 1
u 6
n
• • •
•
•
•
•
•
•
•
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•
•
•
• •
•
•
•
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•
•
n 0 = 4
Abbildung 12.3.ii: Majorante ∑ ∞
n=1 u n und Minorante ∑ ∞
n=1 v n. Für alle n > n 0 gilt u n ≥ v n .
Beispiel 12.3.5. Wir betrachten nun einige Anwendungen des Majorantenkriteriums.
a. Untersuche die Reihe
Für alle n ∈ N 0 gilt
Die geometrische Reihe
∞∑
n=0
ist somit eine konvergente Majorante.
b. Untersuche die Reihe
Für alle n ∈ N 0 gilt erneut
1
2 n +1 = 1 2 + 1 3 + 1 5 + 1 9 +··· .
1
2 n +1 < 1
2 n.
G( 1 2 ) = ∞ ∑
∞∑
n=0
n=0
1
2 n = 2
1
2 n +n .
1
2 n +n ≤ 1
2 n.
Die geometrische Reihe ∑ ∞
n=0 1
2
ist wieder eine konvergente Majorante. Wir könnten
n
aber auch folgendermassen argumentieren. Für alle n ∈ N gilt
d.h., die harmonische Reihe ∑ ∞
Majorante, was unnütz ist.
n=1 1 n
c. Wir betrachten die konvergente Majorante
∞∑
n=0
1
2 n +n ≤ 1 n ,
ist eine Majorante. Dies ergibt aber eine divergente
1
∞
3 n +n 2 ≤ ∑ 1
3 n = 3 2 .
n=0