Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

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12 Unendliche Reihen 231
12.1 Grundbegriffe und Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
12.2 Das Konvergenzverhalten der geometrischen Reihe . . . . . . . . . . . . . . 234
12.3 Konvergenzkriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
12.4 Konvergenzverhalten der hyperharmonischen Reihe . . . . . . . . . . . . . . 244
12.5 Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
12.6 Hauptsatz über Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
12.7 Taylorreihe einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
12.8 Geometrische Bedeutung der Taylorreihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
12.9 Allgemeine Form der Taylorreihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
12.10 Binomische Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
12.11 Methoden zur Reihenentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
12.12 Erweiterte Ansatzmethode zur Reihenentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . 263
13 Funktionen mehrerer unabhängiger Variablen 269
13.1 Motivation und Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
13.2 Geometrische Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
13.3 Partielle Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
13.4 Der Satz von Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
13.5 Das vollständige Differenzial, Linearisieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
13.6 Erste Anwendung der Fehlerrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
13.7 Museum of Mathematical Art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
14 Ableitung impliziter Funktionen 287
14.1 Das vollständige Differenzial einer impliziten Funktion . . . . . . . . . . . . 287
15 Gradient und Tangentialebene 291
15.1 Berechnung des Gradienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
15.2 Berechnung der Tangentialebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
16 Extremstellen bei mehreren unabhängigen Variablen 295
16.1 Notwendige und hinreichende Bedingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
16.2 Methode der kleinsten Quadrate (lineare Regression) . . . . . . . . . . . . . 298
17 Approximation mit minimalem quadratischen Fehler 303
17.1 Approximation einer stückweise stetigen Funktion . . . . . . . . . . . . . . . 304
17.2 Approximation von diskreten Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
18 Extremwerte mit Nebenbedingungen 311
18.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
18.2 Lagrangemultiplikatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
19 Mehrfache Integrale 319
19.1 Flächenberechnungen in kartesischen Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . 319
19.2 Verallgemeinerung des Flächenintegrals – Doppelintegral . . . . . . . . . . . 321
19.3 Variablensubstitution in einem Mehrfachintegral . . . . . . . . . . . . . . . 324
19.4 Berechnung von Trägheitsmomenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327